Wie prüfe ich diese Funktion auf Injektivität und Surjektivität?

Question

ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe, da ich mit diesem Thema riesen Probleme habe aber diese Aufgabe lösen muss. Also ich muss diese Funktion f: ℕ→ℕ mit

$$  f(x)=   \begin{cases}     x+1&\text{falls } x \lt 16,\; x \text{ gerade} \\     x-16 &\text{falls }x\gt16, \;x\text{ gerade} \\     x+16 &\text{falls } x \text{ ungerade} \end{cases}$$

auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität prüfen. Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, oder mir zeigen kann wie man diese Aufgabe löst. Sorry btw das der Text in der Klammer so komisch aussieht ist ein Problem was ich mit LateX nicht hinbekommen hatte.

Der Text soll heißen: x+1 falls x ≤ 16, x gerade usw... Nur das es kein kleinergleich ist sondern nur ein normales kleiner Zeichen.

MfG

Comments

Text in \(\LaTeX\) bekommst du mittels \text{} hin. Ansonsten werden Buchstaben als Veriablen aufgefasst und somit kursiv gesetzt und abstände sind komisch.

Zum cases-Environment:

\begin{cases}

\end{cases}

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Zum cases-Environment:

\begin{cases}
    [Wert₁] & [Bedingung₁] \\
    [Wert₂] & [Bedingung₂] \\
    [...]
\end{cases}

Und oben sollte es natürlich heißen "Text im \(\LaTeX\)-Mathemodus bekommst du mittels \text{} hin."

Answer 1

Zur Veranschaulichung:

f₁: ℝ→ℝ, x↦e^x ist injektiv weil e^x₁ ≠ e^x₂ für x₁ ≠ x₂, aber nicht surjektiv weil -1 ∈ ℝ aber e^x = -1 keine Lösung in ℝ hat. Surjektivität kann man herstellen indem man den Wertebereich einschränkt, g₁: ℝ→ℝ_>0, x↦e^x ist surjektiv. Das Problem, dass e^x = -1 keine Lösung in ℝ stellt sich dann nicht mehr, weil -1 ∉ ℝ_>0 ist.

f₂: ℝ→ℝ, x↦x³ - x ist nicht injektiv weil f₂(-1) = f(1) ist, aber surjektiv wegen Globalverlauf und Stetigkeit. Injektivität kann man herstellen indem man den Definitionsbereich einschränkt, g: (-∞, -1]∪(1, ∞)→ℝ, x↦x³ - x ist injektiv. Das Problem, dass f₂(-1) = f(1) ist, stellt sich dann nicht mehr, weil 1 ∉ (-∞, -1]∪(1, ∞) ist.

f₃: ℝ→ℝ, x↦x³ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.

Zeichne die Graphen der Funktionen f₁, f₂ und f₃ um eine Vorstellung davon zu bekommen, was Injektivität und Surjektivität bedeuten.

Zu deiner Funktion:

Zeichne den Graphen der Funktion.

Comments

Und wie findest du immer diese Beispiele die zeigen das eine Funktion injektiv usw ist?

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Kann das nicht auf mein Beispiel übertragen. Könntest du mir vielleicht ein paar Tipps bezogen auf mein Beispiel geben? Verstehe das nicht richtig.

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du kannst ja mal jeden Fall einzeln auf Injektivität und Surjektivität untersuchen und überlegen, was alle drei Fälle zusammen für eine Auswirkung auf die Abbildung f haben.