Bestimmen Sie die Wahrheitswerte von …

Question

Aufgabe:

Es seien \( G_{1}=\mathbb{R} \) und \( G_{2}=\mathbb{N} \) (natürliche Zahlen) sowie \( P\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left(x_{1}^{2}=x_{2}\right) \Rightarrow \) \( x_{1} \in \mathbb{N} \)

Bestimmen Sie die Wahrheitswerte von

(a) \( \forall x_{1} \in \mathbb{R} \forall x_{2} \in \mathbb{N} \quad P\left(x_{1}, x_{2}\right) \)

(b) \( \forall x_{1} \in \mathbb{R} \quad \exists x_{2} \in \mathbb{N} \quad P\left(x_{1}, x_{2}\right) \)

(c) \( \exists x_{1} \in \mathbb{R} \quad \forall x_{2} \in \mathbb{N} \quad P\left(x_{1}, x_{2}\right) \)

(d) \( \exists x_{1} \in \mathbb{R} \quad \exists x_{2} \in \mathbb{N} \quad P\left(x_{1}, x_{2}\right) \)

(e) \( \forall x_{2} \in \mathbb{N} \quad \exists x_{1} \in \mathbb{R} \quad P\left(x_{1}, x_{2}\right) \)

(f) \( \exists x_{2} \in \mathbb{N} \quad \forall x_{1} \in \mathbb{R} \quad P\left(x_{1}, x_{2}\right) \)

Ansatz:

Bei meiner letzten Veranstaltung konnten wir die Ergebnisse von unserem Tutor irgendwie nicht so richtig nachvollziehen:

a) falsch

b) wahr

c) falsch

d) wahr

e) wahr

f) falsch

Könnte mir jmd. sagen, ob diese Aussagen richtig sind, damit ich wenigstens Sicherheit habe, dass ich es manche von ihnen zurecht nicht nachvollziehen kann.

Comments

Ich denke das lässt sich so interpretieren, dass die Antworten richtig sind.

b) ist aber mE nur wahr, wenn 0 Element IN ist. Das wäre dann das x₂ , das dort existiert.

Wenn nun die Gleichung erfüllt ist, ist x₁² = 0 und das impliziert x₁ = 0 also in N.

Für alle andern x₁ ist die Gleichung nicht erfüllt, da ist auch nichts als Folgerung zu erwarten. D.h. die Implikation ist in diesen Fällen sowieso erfüllt.

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OK Danke. Aber wie ist das bei a)? Wie vergleicht mal all mit all?

Answer 1

Bei a) genügt ein einziges Gegenbeispiel, da hier behauptet wird, dass P(x₁ , x₂) für alle Zahlenpaar gilt.

Also eine Kombination von x₁ und x₂ so dass x₁^2 = x₂   aber x₁ nicht Element IN.

Hier ist ein Gegenbeispiel.

(-3)^2 =9         aber -3 ist nicht in N.