Untersuchen Sie, ob R := {(x1; x2) ∈ Χ χ X : f(x1) = f(x2)} eine Äquivalenzrelation ist.

Question

Gegeben seien drei nicht leere Mengen X; Y; Z und die Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z.

Untersuchen Sie, ob R := {(x₁; x₂) ∈ Χ χ X : f(x₁) = f(x₂)} eine Äquivalenzrelation ist.

Answer 1

Du musst nur drei Eigenschaften prüfen:

reflexiv: d.h. bei dir :  Für alle x∈X gilt  (x,x) ∈ R

Das ist erfüllt, weil bei jeder Abbildung gilt f(x)=f(x).

symmetrisch:  d.h. bei dir :  Für alle (x1,x2)∈XxX  gilt

  (x1,x2) ∈ R   ==>     (x2,x1) ∈ R

Ist auch erfüllt; denn aus f(x1)=f(x2) folgt f(x2)=f(x1).

transitiv ist auch erfüllt; denn aus

f(x1)=f(x2)   und f(x2)=f(x3)   folgt f(x1)=f(x3).