Question

Für welche natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung

2 · n² > 4 · n + 1, für welche gilt sie nicht?

Formulieren Sie eine Behauptung und beweisen Sie diese!

Durch einsetzen erhalte ich, dass für alle n > 3 die Ungleichung gilt.

Behauptung wäre demnach: Für alle n ∈ ℕ mit n > 3 gilt die Ungleichung 2 · n² > 4 · n + 1

wie beweise ich das jetzt?

Answer 1

deine Behauptung ist richtig. Das kann man mit vollständiger Induktion beweisen, oder direktes umformen, wenn ihr schon rationale Zahlen eingeführt habt.

Mit Induktion:

siehe hier

https://www.mathelounge.de/582257/vollstandige-induktion-ungleichung-fur-naturliche-zahlen

Dass es für n=1,2 nicht gilt folgt aus der Einsetzprobe.

Answer 2

Beweis z.B. durch vollständige Induktion mit dem Induktionsanfang n=3. oder einfacher

2 · n² > 4 · n + 1    |:n

2n>4+1/n

Durch Einsetzen erhalte ich, dass für alle n > 2 die Ungleichung gilt.