Einen Punkt \(A\) zu finden, bedeutet drei Werte für \(x\), \(y\) und \(z\) zu finden, die die Ebenengleichung $$-3x-y-z=-6, \quad \text{bzw.:} \space \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \vec{x} = -6$$ erfüllen. Das ist z.B. \(A=\begin{pmatrix} 1& 4& -1\end{pmatrix} ^T\) : $$\begin{pmatrix} -3\\ -1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ -1\end{pmatrix} = (-3)\cdot 1 + (-1)\cdot 4 + (-1)\cdot (-1)= -6$$ Den Abstand \(d\) zur Ebene kann man nun mit Hilfe des Skalarprodukts berechnen. Sei \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -3&-1& -1\end{pmatrix}^T\) der Normalenvektor von \(E\), so ist der Abstand \(d\) von \(P\) zur Ebene: $$d(P,E) = \frac{\vec{n}}{\Vert\vec{n}\Vert} (P - A) = \frac{\vec{n} \cdot P - \vec{n} \cdot A}{\Vert\vec{n}\Vert} \\ \quad = \frac{(-3)\cdot (-1)+ (-1)\cdot6 + (-1)\cdot3 - (-6)}{\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2}} \quad \text{Bem.:} \space \vec{n}\cdot A = -6\\ \quad = \frac{0}{\sqrt{11}} = 0$$D.h. \(P\) liegt bereits in der Ebene, da der Abstand gleich 0 ist. (s.a. Geoknecht3d)
Gruß Werner
