Sind die Abbildungen bijektiv?

Question

Sind die beiden Abbildungen f und g bijektiv? Wie zeigt bzw. widerlegt man das?

\( f: \mathbb{C} \backslash\left\{-\frac{1}{2}\right\} \longrightarrow \mathbb{C} \backslash\left\{\frac{3}{4}\right\}, f(z)=z^{2}+z+1 \)

\( g: B_{l}(0) \longrightarrow \mathbb{R}^{n}, g(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\|x\|^{2}}} x, B_{I}(0)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}:\|x\|<1\right\} \)

Comments

Wenn f bijektiv wäre könntest du womöglich
w=y^2 + y + 1

in eindeutiger Weise nach w auflösen.

Versuch das mal, wenn du noch keine schlauere Idee hast.

Wie habt ihr || _ || definiert? Euklidische Norm?

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Jaa, ||...|| soll die euklidische Norm sein.

Answer 1

Hallo,

zu f)

f ist nicht injektiv; denn $$f(-(z+1))=z^2+z+1=f(z)$$

zu g)

g ist nicht injektiv; denn für jede Norm ist $$\|z\|=\|-z\|$$

also $$g(z)=g(-z)$$

Gruß ermanus

Mathhilf hat richtig bemerkt, dass meine Aussage für g falsch ist.
Daher kommt hier die Korrektur:

g ist injektiv.

Wir betrachten den Ausdruck $$\|g(x)\|^2=\left\|\frac{x}{\sqrt{1-\|x\|^2}}\right\|^2=\frac{\|x\|^2}{1-\|x\|^2}=-1+\frac{1}{1-\|x\|^2}\quad(*)$$
Nun gilt $$g(x)=g(y)\Rightarrow\|g(x)\|^2=\|g(y)\|^2\quad(**)$$
Da die Funktion$$h(r)=-1+\frac{1}{1-r},\;0\leq r \lt 1$$
injektiv ist, folgt aus (*) und (**):$$\|x\|^2=\|y\|^2$$
und damit $$\frac{1}{\sqrt{1-\|x\|^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\|y\|^2}}$$
Zusammen mit $$g(x)=g(y)$$ liefert das $$x=y.$$

Comments

Hallo,

das stimmt nicht ganz:

$$g(z)=\frac{1}{\sqrt{1-\|z\|^2}}z \neq \frac{1}{\sqrt{1-\|z\|^2}}(-z)=g(-z)$$

Für \(z \neq 0\).

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Oh sorry,

habe den Faktor nach dem Bruch nicht gesehen ...

Gruß ermanus