Extremwertaufgabe mit 3 Variablen

Question

Die Absätze xi von drei Produkten eines Unternehmens in Abhängigkeit ihrer Preise pi sind:

x₁= 6-2p₁+p₂             

x₂= 12+p₁-4p₂+p₃

x₃= 6+p₂-2p₃

Bei welchen Preis ist der Umsatz maximal?

Ich komme mit der Aufgabe gar nicht zurecht. Ich kann zwar alle partiellen Ableitungen bilden, aber irgendwie klappt das nicht.

Answer 1

E(p1, p2, p3) = (6 - 2·p1 + p2)·p1 + (12 + p1 - 4·p2 + p3)·p2 + (6 + p2 - 2·p3)·p3 = - 2·p1^2 + 2·p1·p2 + 6·p1 - 4·p2^2 + 2·p2·p3 + 12·p2 - 2·p3^2 + 6·p3

E'(p1, p2, p3) = [- 4·p1 + 2·p2 + 6, 2·p1 - 8·p2 + 2·p3 + 12, 2·p2 - 4·p3 + 6] = [0, 0, 0] --> p1 = 3 ∧ p2 = 3 ∧ p3 = 3