Lösung der komplexen quadratischen Gleichung z^2=a+ib

Question

Aufgabe: Geben sie für die Lösungen der Gleichung z² = a + ib eine allgemeine Formel in Abhängigkeit von a und b an.

Ansatz: Ob das relevant ist, weiss ich nicht, aber die Formel für Wurzeln in C wie ich sie kenne ist:

$$z_k=\sqrt[n]{r} \cdot (cos (\frac{\phi + k 2 \pi}{n}) + isin ( \frac{\phi + k 2 \pi}{n}))$$

z_k hat ja jetzt die Eigenschaft, dass z_kⁿ = z.

Dann sei mein z_k = x + iy. Dementsprechend sollte (x+iy)ⁿ = a + ib sein.

$$(x+iy)^2=x^2 + 2iyx - y^2=a + ib$$

a ist ja der Realteil. Also muss gelten:

$$a=x^2-y^2$$

b ist der Imaginaerteil und es muss gelten:

$$b=2yx$$

Ist das erstmal ein richtiger Ansatz? Wie stelle ich denn jetzt daraus eine allgemeine Formel auf und vorallem in Abhaengigkeit von a und b? Was ist ueberhaupt damit gemeint?

Irgendwie blicke ich bei dieser Aufgabe nicht durch. Ueber Hilfe wuerde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Der Ansatz ist top.

a = x^2 - y^2 und  b = 2xy  gibt   für y≠0

                                  x = b/(2y )    #

also a =  b^2 / (4y^2) - y^2

<=>  4y^4 + 4ay^2 - b^2 = 0

gibt durch Substitution z = y^2

z = -a  ±√ (a^2 + b^2 )     /  2

und daraus wieder die Wurzel gibt für y 4 Lösungen

y = ±√ ( ( -a  ±√ (a^2 + b^2 )     /  2 )

denn a^2 + b^2 ist nie negativ und weil der

Betrag einer kompl. Zahl nie kleiner ist als

der Betrag jeder ihrer Komponenten .

Einsetzen bei # gibt die x-Werte. Und weil das

dann Formeln von der Art x= …..    und y = …..

sind, bei denen in …..  nur was mit a und b vorkommt,

heißt es: "in Abhängigkeit von a und b "

Und dann noch den Fall  y=0 betrachten.