Matrix auf Symmetrie überprüfen

Question

Aufgabe:

In einer Aufgabe soll man alle Matrizen bestimmen, die symmetrisch sind.

$$A = \begin{pmatrix} cos(\theta) & sin(\theta)  \\ -sin(\theta)  & cos(\theta)  \end{pmatrix} $$

Problem/Ansatz:

Laut Lösung soll die Matrix symmetrisch sein. Aber $$A^T = \begin{pmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta)  \\ sin(\theta)  & cos(\theta)  \end{pmatrix}$$
Spielt das Vorzeichen keine Rolle oder herrscht eine magische trigonometrische Identität?

Answer 1

A ist für die Winkel θ symmetrisch, für die sin(θ) = -sin(θ) ist. Das ist genau dann der Fall, wenn sin(θ) = 0 ist, wenn also θ ein ganzzahliges Vielfaches von π ist.

In einer Aufgabe soll man alle Matrizen bestimmen, die symmetrisch sind.

Bei einer so allgemeinen Aufgabenstellung bleibt dem, der sie bearbeiten soll, nichts anderes übrig, als auf die Definition von symmetrischen Matrizen zu verweisen. Was hat die Aufgabenstellung mit der Matrix A zu tun?

Spielt das Vorzeichen keine Rolle

Manchmal. Meistens spielt es eine Rolle.

herrscht eine magische trigonometrische Identität?

Wenn eine trigonometrische Identität herrscht, dann ist sie nicht magisch begründet, sondern logisch.

Answer 2

Spielt das Vorzeichen keine Rolle oder herrscht eine magische trigonometrische Identität?

Vermutlich sollst du theta bestimmen, so dass die Drehmatrix symmetrisch ist.

Ansatz sin(theta) = -sin(theta)   | + sin(theta)

2 sin(theta) = 0

sin(theta) = 0

theta1 = 0

theta2=π

theta3=2π

theta4=3π

usw.

auch theta9= -33π

Insgesamt, (wenn keine Einschränkungen für theta: thetak =k*π, k Element Z .