Würfelwahrscheinlichkeitsspiel: Augensumme bei 5- und 6-seitigem Würfel.

Question

Ich würfele mit 2 normalen Würfeln und addiere die Augenzahlen. Du würfelst mit 2 besonderen Würfeln (5 Felder, Augenzahlen 2-6) und addierst die Augenzahlen. Die höhere AUgenzahl gewinnt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?

Answer 1

mit zwei normalen Würfeln können sich folgende Summen ergeben:
2 * 1, nämlich 1|1

3 * 2, nämlich 1|2 und 2|1

4 * 3

5 * 4

6 * 5

7 * 6

8 * 5

9 * 4
10 * 3

11 * 2

12 * 1

36 Kombinationen mit den Einzelwahrscheinlichkeiten

P(2) = 1/36, P(3) = 2/36, P(4) = 3/36, P(5) = 4/36, P(6) = 5/36, P(7) = 6/36, P(8) =5/36, P(9) = 4/36, P(10) = 3/36

P(11) = 2/36, P(12) = 1/36


Mit meinen Spezialwürfeln können sich folgende Summen ergeben:
4 * 1

5 * 2

6 * 3

7 * 4

8 * 5

9 * 4

10 * 3

11 * 2

12 * 1

25 Kombinationen mit den Einzelwahrscheinlichkeiten

P(4) = 1/25, P(5) = 2/25, P(6) = 3/25, P(7) = 4/25, P(8) = 5/25, P(9) = 4/25, P(10) = 3/25, P(11) = 2/25, P(12) = 1/25


Nun kann man sagen: Die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine Augensumme von 2 hast und ich eine von 4, beträgt:
1/36 * 1/25

Die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine Augensumme von 2 hast und ich eine von 5, beträgt:
1/36 * 2/25

etc. bis

Die Wahrscheinlichkeit, dass Du eine Augensumme von 2 hast und ich eine von 12, beträgt:
1/36 * 1/25

Diese Einzelwahrscheinlichkeiten sind aufzusummieren.
Dann das Gleiche mit der Wahrscheinlichkeit, dass Du die Augensumme 3 hast und ich die Augensummen 4, 5, 6 ... oder 12 - auch aufsummieren.
Dann das Gleiche mit der Wahrscheinlichkeit, dass Du die Augensumme 4 hast und ich die Augensummen 5, 6, 7 ... oder 12 - auch aufsummieren

usw. bis zur

Wahrscheinlichkeit, dass Du die Augensumme 11 hast und ich die Augensumme 12 - ebenfalls aufsummieren.

Am Schluss die Einzelsummen aufsummieren, und Du hast die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit meinen Spezialwürfeln gegen Deine normalen Würfel gewinne.
Sehr aufwändig, ich weiß.
Wahrscheinlich findet jemand noch eine elegantere Lösung :-)


Besten Gruß

Comments

 IM Endeffekt geht es mir darum, die Wahrscheinlichkeiten auch für n Würfel zu berechnen. Deswegen hatte ich gehofft, dass es eine elegantere Lösung gibt...

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Gern geschehen :-)

Stell doch einfach eine neue Aufgabe mit den gesuchten Wahrscheinlichkeiten für n Würfeln ein. 

Vielleicht findet sich jemand, der auch dafür eine Lösung hat. 

Besten Gruß

Answer 2

hi

eine tabelle für die augensumme von 2 gewöhnlichen würfeln(mit augenzahlen 1 bis 6):

1;1	1;2	1;3	1;4	1;5	1;6
2;1	2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
3;1	3;2	3;3	3;4	3;5	3;6
4;1	4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
5;1	5;2	5;3	5;4	5;5	5;6
6;1	6;2	6;3	6;4	6;5	6;6

in den diagonalen feldern lassen sich die häufigkeiten der augensummen abzählen. man erhält für die augensumme 2

die häufigkeit 1, für die augensumme 3 die häufigkeit 2, für die augensumme 4 die häufigkeit 3 usw. daraus lässt sich eine weitere tabelle basteln, welche die augensummen mit den zugehörigen wahrscheinlichkeiten erhält:

augensumme 2 würfel	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p(x=augensumme)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

daraus lässt sich der nach den häufigkeiten gewichtete erwartungswert der augensumme berechnen:

µ _{2 gewöhnliche würfel} = 2*1/36 + 3*2/36 + 4*3/36 + 5*4/36 + 6*5/36 + 7*6/36 + 8*5/36 + 9*4/36 + 10*3/36 + 11*2/36 + 12*1/36 = 7

eine tabelle für die augensummen von 2 speziellen würfeln(mit den augenzahlen 2 bis 6):

2;2	2;3	2;4	2;5	2;6
3;2	3;3	3;4	3;5	3;6
4;2	4;3	4;4	4;5	4;6
5;2	5;3	5;4	5;5	5;6
6;2	6;3	6;4	6;5	6;6

daraus eine tabelle mit den augensummen und ihren zugehörigen wahrscheinlichkeiten:

augensumme 2 würfel	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p(x=augensumme)	1/25	2/25	3/25	4/25	5/25	4/25	3/25	2/25	1/25

nach häufigkeiten gewichteter erwartungswert der augensumme:

µ _{2 spezielle würfel} = 4*1/25 + 5*2/25 + 6*3/25 + 7*4/25 + 8*5/25 + 9*4/25 + 10*3/25 + 11*2/25 + 12*1/25 = 8

der vergleich der beiden erwartungswerte liefert:

8 = µ _{2 spezielle würfel} > µ _{2 gewöhnliche würfel} = 7

gemäß des gesetzes der großen zahlen würde also langfristig gesehen der spezialwürfel gewinnen.

Comments

 Die Frage die sich anschließt wäre jetzt, wie groß genau diese GEwinnwahrscheinlichkeit ist. Mein Gefühl sagt mir auch,, dass derjenige mit den Spezialwürfeln eine höhere GEwinnwahrscheinlichkeit haben sollte aufgrund der Erwatrtungswerte.

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bei beiden würfeln lassen sich die möglichen augensummen abzählen, beim gewöhnlichen würfel sind es die augensummen: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, das sind 11 augensummen. bei dem speziellen würfel sind es die augensummen: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, das sind 9 augensummen. damit ergeben sich 11*9 = 99 kombinationsmöglichkeiten. wie oft kann der spezielle würfel den gewöhnlichen würfel schlagen?

4 schlägt 2,3 -> 2

5 schlägt 2,3,4 ->3

6 schlägt 2,3,4,5 ->4

7 schlägt 2,3,4,5,6 ->5

8 schlägt 2,3,4,5,6,7 ->6

9 schlägt 2,3,4,5,6,7,8 ->7

10 schlägt 2,3,4,5,6,7,8,9 ->8

11 schlägt 2,3,4,5,6,7,8,9,10 ->9

12 schlägt 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 ->10

insgesamt kann der gewöhliche  würfel vom speziellen würfel   9*(2+10)/2 = 54 mal geschlagen werden.

p(ich gewinne :D) = (anzahl der günstigen ergebnisse) / (anzahl der möglichen ergebnisse) = 54/99 ≈ 0,5455.