Aufgabe:
Die Funktion f(x) = x ^ 2 - 3 * x - 4 bildet mit dem Koordinatensystem im 4-ten Quadranten eine Fläche, in welcher ein Viereck liegt.
Welche Eckpunkte muss das Viereck haben, damit seine Fläche möglichst groß wird ?
Wie groß ist diese maximale Fläche ?
Problem/Ansatz:
Meine eigene Rechnung -->
f(x) = x ^ 2 - 3 * x - 4
Ich berechne zunächst den Scheitelpunkt.
f´(x) = 2 * x - 3
2 * x - 3 = 0
x = 3 / 2
f(3 / 2) = (3 / 2) ^ 2 - 3 * (3 / 2) - 4 = - 25 / 4
Scheitelpunkt (3 / 2 | - 25 / 4)
Jetzt erzeuge ich eine verschobene und gespiegelte Funktion
g(x) = - ((x + 3 / 2) ^ 2 - 3 * (x + 3 / 2) - 4)
g(x) = - x ^ 2 + (25 / 4)
Jetzt verwende ich eine Funktion für den Flächeninhalt :
A(u) = 2 * u * g(u)
A(u) = 2 * u * (- u ^ 2 + (25 / 4))
A(u) = - 2 * u ^ 3 + (25 / 2) * u
Von dieser Funktion den Extremwert berechnen :
A´(u) = - 6 * u ^ 2 + (25 / 2)
- 6 * u ^ 2 + (25 / 2) = 0
u ^ 2 = 25 / 12
u_1 = - √(25 / 12)
u_2 = √(25 / 12)
Das in die Funktion g(...) einsetzen :
-(√(25 / 12)) ^ 2 + (25 / 4) = 25 / 6
Punkte :
P_1 = (- √(25 / 12) | 25 / 6)
P_2 = (√(25 / 12) | 25 / 6)
Maximaler Flächeninhalt :
A_max = 2 * √(25 / 12) * 25 / 6 = 12.02813061
Dies sind aber die Punkte der verschobenen und gespiegelten Funktion, sie müssen wieder zurückverschoben und zurückgespiegelt werden.
Also :
P_1 = (3 / 2 - √(25 / 12) | - 25 / 6)
P_2 = (3 / 2 + √(25 / 12) | - 25 / 6)
P_3 = (3 / 2 - √(25 / 12) | 0)
P_4 = (3 / 2 + √(25 / 12) | 0)
A_max = 12.02813061
Ich habe auch ein Computerprogramm in QuickBasic / QB64 geschrieben, welches das Problem extrem primitiv mittels "Abtastung" löst :
DEFDBL A-Z
max = 1D+308
REM s = Schrittweite der Abtastung
s = 0.000001
FOR x = 0 TO 4 STEP s
y = x ^ 2 - 3 * x - 4
x1 = 3 / 2 - SQR((-3 / 2) ^ 2 + 4 + y)
x2 = 3 / 2 + SQR((-3 / 2) ^ 2 + 4 + y)
l = x2 - x1
A = y * l
IF A < max THEN max = A: PRINT x1, x2, y, A
NEXT x
Resultat, das Computerprogramm kommt exakt zu denselben Ergebnissen, wie meine Rechnung.
Deshalb bin ich jetzt verzweifelt.
Mein Problem ist jetzt folgendes -->
Ich habe mit jemandem geschrieben, der etwas völlig anderes herausbekommen hat.
Die Person hat für A_max = 16 Flächeneinheiten herausbekommen, und ist das Problem auf wesentlich einfachere Art und Weise angegangen wie ich.
Ich neige dazu, kompliziert zu denken. Oftmals zu kompliziert !
Was ich jetzt brauche, ist jemanden, der mir sagen kann, ob ich mich verrechnet habe bzw. einen Denkfehler gemacht habe, oder ob meine Ergebnisse korrekt sind.
Könnt ihr mir helfen ?
