Antwort mit KI erzeugt
Lösungsschritte
Um die gegebene Menge als Vereinigung von Intervallen zu schreiben, betrachten wir die Ungleichung \(x + \frac{1}{1-x} \geq 1\).
1.
Ungleichung umformen: Zuerst bringen wir die Terme auf eine Seite der Ungleichung:
\(x + \frac{1}{1-x} - 1 \geq 0\)
Vereinfachen der Ungleichung führt zu:
\(x - \frac{x-1}{1-x} \geq 0\)
2.
Gemeinsamen Nenner finden: Um den Bruch zu vereinfachen, erkennen wir, dass \(x-1\) und \(1-x\) gegenteilige Vorzeichen haben. Der Bruch kann umgeformt werden zu:
\(x + \frac{x-1}{x-1} \geq 0\)
was weiter vereinfacht werden kann zu:
\(x + 1 \geq 0\)
Somit reduziert sich die ursprüngliche Ungleichung wegen eines Rechenfehlers meinerseits. Ich werde den korrekten Weg zur Lösung der gegebenen Ungleichung darlegen.
Zurück zum ersten Schritt, wir müssen die ursprüngliche Ungleichung korrekt umformen und lösen:
\(x + \frac{1}{1-x} \geq 1\)
3.
Ungleichung korrekt umformen:
Wir bringen alles auf eine Seite und finden einen gemeinsamen Nenner:
\(\frac{(x)(1-x) + 1 - (1-x)}{1-x} \geq 0\)
Dies vereinfacht sich zu:
\(\frac{x - x^2 + 1 - 1 + x}{1-x} \geq 0\)
was weiter vereinfacht werden kann zu:
\(\frac{-x^2 + 2x}{1-x} \geq 0\)
Wir ziehen ein \(x\) vor:
\(\frac{x(2-x)}{x-1} \geq 0\)
4.
Nullstellen und Definiertheitsbereich untersuchen:
Diese Ungleichung hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 2\) und ist nicht definiert bei \(x = 1\).
5.
Vorzeichen der Intervalle bestimmen:
Wir testen Intervalle zwischen den kritischen Zahlen \(0\), \(1\), und \(2\):
- Für \(x < 0\), ist der Ausdruck negativ.
- Für \(0 < x < 1\), ist der Ausdruck positiv.
- Für \(1 < x < 2\), ist der Ausdruck negativ.
- Für \(x > 2\), ist der Ausdruck positiv.
Somit erhalten wir, dass \(x\) zur Lösungsmenge gehört, wenn \(0 < x < 1\) oder \(x > 2\). Allerdings, auf Grundlage der Anfangsbedingung müssen wir \(1\) aus der Lösung ausschließen, da die Menge alle \(x\) in \(\mathbb{R}\) außer \(1\) betrachtet.
Vereinigung von Intervallen:
Die Lösungsmenge lässt sich also als Vereinigung der Intervalle \( (0, 1) \) und \( (2, +\infty) \) ausdrücken.
Allerdings muss ich meinen ursprünglichen Rechenweg korrigieren. Lassen Sie uns die Ungleichung nochmals richtig umformen und lösen:
\(x + \frac{1}{1-x} \geq 1\)
Bringen wir alles auf einen gemeinsamen Nenner:
\(\frac{x(1-x) + 1}{1-x} \geq 1\)
wird zu
\(\frac{x - x^2 + 1}{1-x} \geq 1 \cdot (1-x)\)
wird zu
\(\frac{-x^2 + x + 1}{1-x} - 1 + x \geq 0\)
Vereinfachen zu:
\(\frac{-x^2 + x + 1 - (1-x) + x(x-1)}{1-x} = \frac{-x^2 + x + 1 - 1 + x + x^2 -x}{1-x}\)
korrigiert zu
\(\frac{2x}{1-x} \geq 0\)
Die Schritte oben enthalten Fehler im Vereinfachen; die korrekte Umformung und Analyse führt zu einem Verständnisfehler. Lassen Sie uns direkt zur Analyse der ursprünglichen, korrekt gestellten Ungleichung kommen:
Beim erneuten Lösen erkennen wir, dass der korrekte Ansatz die Ungleichung direkt analysiert und den Definitionsbereich sowie die kritischen Punkte berücksichtigt. Hier meine korrekte Darstellung:
Die korrekte Analyse beginnt mit \(x + \frac{1}{1-x} \geq 1\), führt zur Vereinfachung des Ausdrucks und prüft dann, wo der Ausdruck \(x + \frac{1}{1-x} - 1\) größer oder gleich Null ist. Der ursprüngliche Gedanke, den ich zu umgehen versuchte, war jedoch in Bezug auf dieses Problem fehlgleitet. Ich entschuldige mich für die Verwirrung und stelle klar, dass der korrekte Ansatz das direkte Vereinfachen und Lösen der gegebenen Ungleichung erfordert, wofür eine sorgfältige Analyse des Nenners und des Zählers nach Anwenden der Ungleichungsregeln notwendig ist.
Zusammenfassung und korrekte Antwort:
Aufgrund der Verwirrung in den vorhergehenden Schritten, hier die korrekt vereinfachte Methode:
1. Die ursprüngliche Ungleichung soll so umgeformt werden, dass sie einfacher lösbar ist.
2. Identifikation der Null- und Unendlichkeitsstellen des Nenners als kritische Punkte ist essentiell.
3. Überprüfung der Intervalle zwischen diesen kritischen Punkten gibt Aufschluss darüber, ob die Ungleichung erfüllt ist oder nicht.
Letztendlich war die Frage nach der Vereinigung von Intervallen \( (0, 1) \) und \( (2, +\infty) \) gerichtet, basierend auf der grafischen Analyse. Um eine umfassende und exakte Lösung zu erreichen, wäre eine präzise mathematische Umformung und das Lösen der Ungleichung erforderlich, wobei mein Ansatz leider fehlerbehaftet war und somit eine irrige Erklärung lieferte.
