Mathematisches Modell für das Entscheidungsproblem aufstellen (Lineare Programmplanung, Optimierung, Deckungsbeitrag)

Question

Lineare Optimierung: Ein Unternehmen bietet die Produkte Pl und P2 an. Pl eρwirtschaftet einen Deckungsbeitrag von 250 Geldeinheiten pro Stück, P2 einen Deckungsbeitrag von 200 Geldeinheiten pro Stück. Für die Produktion werden drei Maschinen M!, M2 und M3 benötigt. Kapazitätsangebot und -nachfrage in der Planperiode sind in folgender Tabelle gegeben:

	Kapazitätsbedarf/Stück P1	Kapazitätsbedarf/Stück P2	Kapazitätsangebot
M1	4	2	22
M2	2	3	17
M3	0	2	10

Von Produkt P1 und P2 müssen aufgrund bereits eingelangter Aufträge mindestens 1 Einheit produziert werden.

a) Stellen Sie das mathematische Modell für das obige Entscheidungsproblem auf.

b) Lösen Sie das Problem grafisch. Bestimmen Sie das optimale Produktionsprogramm und den daraus resultierenden gesamten Deckungsbeitrag

Wie komme ich hier auf den Deckungsbeitrag?

Answer 1

Sagen wir Du produzierst x von P1 und y von P2.

Berechne den Deckungsbeitrag:

===>

Nehmen wir an das Kapazitätsangebot ist in Stunden angegeben

Wie viel Maschinenstunden sind dann für

M1:

M2:

M3:

zu veranschlagen?

Answer 2

Hallo eda,

stell zunächst die Zielfunktion auf: z(x,y) = max(x,y) 250x + 200y

dann die Nebenbedingungen:
M1: 4x + 2y ≤ 22
M2: 2x + 3y ≤ 17
M3:         2y ≤ 10
NB4: x, y ≥ 1 (das ersetzt die Nichtnegativitätsbedingung die sonst üblich ist bei der linearen Programmierung)
Jetzt kannst du durch Nullsetzen die einzelnen Variablen für die grafische Lösung finden:

M1: x = 5,5 | y = 10,5
M2: x = 8,5 | y = 5,6667
M3:             | y = 5
NB4:  x = 1 | y = 1

Jetzt kannst du das ganze in ein Koordinatensystem einzeichnen. Die Schnittpunkte der x, bzw. y-Achsen hast du ja.
Dann zeichnest du die Zielfunktion ein, Steigung der Zielfunktion: y = -(250/200)x
Durch das parallele verschieben vor den Grenzen der Nebenbedingungen M1, M2 und M3 und nach der Grenze von NB4 erreichst du den Schnittpunkt im Lösungspolygon in dem die Ressourcen ideal ausgenutzt werden.