Hallo Lisa,
bei dieser Ungleichung $$\left| \frac 5x +x \right| < 6$$ macht man folgene Fallunterscheidung: 1.Fall \(x>0\) dann kann man schreiben: $$\begin{aligned} \frac 5x + x &< 6 && \left| \cdot x\right. \\ 5 + x^2 &< 6x && \left| -6x \right. \\ x^2 - 6x + 5 &< 0 &&\left| \text{ q. E.} \right. \\ x^2 - 2\cdot 3x + 9 - 9 + 5 &< 0 && \left| +4 \right.\\ (x-3)^2 &< 4 \\ x_1-3 &< 2 &&\left| +3\right. \\ x_1 &< 5 \\ x_2 - 3 &> -2 &&\left| +3\right. \\ x_2 &> 1 \\ \implies 1 &< x < 5 \end{aligned}$$ Das 'q. E.' steht für 'quadratische Ergänzung'. Solange also \(x > 0\) ist, erfüllen alle Werte aus dem Intervall \((1;5)\) die Ungleichung. Die gleiche Vorgehendsweise für den 2.Fall \(x<0\): $$\begin{aligned} \frac{-5}x - x &< 6 && \left| \cdot x \quad (x <0) \text{!} \right. \\ -5 - x^2 &> 6x \\ 4 &> (x+3)^2 \\ \implies -5 &< x < -1\end{aligned}$$ Die Zwischenschritte habe ich weggelassen. Beachte hier, dass bei der Multiplikation mit \(x\) aus dem \(<\) ein \(>\) wird, da \(x<0\) ist. Das Prinzip ist ansonsten das gleiche wie im 1.Fall. \(x=0\) gehört nicht zum Definitionsbereich der Ungleichung, da durch \(x\) dividiert wird. Damit muss dieser Fall auch nicht untersucht werden.
Wenn man sich beide Seiten der Ungleichung als Graph aufzeichnet ... ~plot~ abs(5/x+x);6;[[-8|+8|-2|10]];{-5|6};{-1|6};{1|6};{5|6} ~plot~ ... dann sieht man, dass nur in den Intervallen \((-5;-1)\) und \((1;5)\) der blaue Graph (die linke Seite der Ungleichung) unterhalb des roten Graphs liegt (der rechten Seite \(\to 6\)).
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