Winkelbestimmung im Dreieck unter Verwendung der Bogenlänge

Question

Huhu,

ich soll den Winkel Alpha in dem Dreieck bestimmen und habe mittlerweile sämtliche Beziehungen im Dreieck kombiniert, die mir eingefallen sind, aber komme nicht weiter. 

Hat von euch jemand eine Idee? Ich brauche keine vollständige Lösung, aber ein Ansatz, wie ich auf den Radius, die Höhe des Dreiecks oder auf die Segmenthöhe komme, wäre super. 

Answer 1

hattet ihr bereits die trigonometrischen Formeln? Falls ja, dann könntest wie folgt vorgehen:

Deine erste Bedingung: Du setzt alle Werte, die du hast( Bogenlänge, 360°) in die dazugehörige Formel ein und hast dann noch Alpha und r als Unbekannte stehen.

Zweite Bedingung: Du verwendest den Sinus indem du r als Hypotenuse wählst und (halbes)Alpha als Gegenwinkel zur Gegenkathete (2 cm, da dies die Hälfte von diesen 4 cm der Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks ist)

Nun hast du zwei Unbekannte und zwei Gleichungen und brauchst nur noch aufzulösen. Am Ende kannst du dann mittels Cosinus die Segmenthöhe bestimmen.

Comments

danke für die schnelle Antwort. Den Ansatz hatte ich bereits ausprobiert und am Ende hat man dann:

z = alpha / sin(alpha/2) , z = const.

Weißt du wie man damit auf Alpha kommt?

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Das wird so leider nicht funktionieren, sorry mein Fehler!. Es geht allerdings so:

Wenn du in den Kreis ein zusätzliches zweites identisches Dreieck packst, so dass du ein großes gleichschenkliges Dreieck hast mit der Grundseite 2r und dem neuen Eckpunkt C, der gegenüber von A auf dem Kreisbogen liegt, dann kannst du hier ausnutzen, dass laut dem Satz des Thales in B ein rechter Winkel existieren muss. Nun wendest du den Satz des Pythagoras mir 2r als Hypotenuse und 4cm als Katheten an. Du solltest für r √8 rausbekommen. Den Rest kriegst du alleine hin:) Sorry für die späte Antwort.

Schönen Abend noch

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Der Ansatz ist genial, vielen Dank. :)

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Noch genialer :  5 / π  ≠  √2

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Falls euch der Hinweis von hj nicht weiterhilft: ~draw~ kreis(0|0 5)#;kreissektor(0|0 5 250 290);kreissektor(0|0 5 290 330);strecke(-1.7|-4.7 1.7|-4.7);zoom(7) ~draw~

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Ich habs mittlerweile nachgerechnet und das würde nur in einem Spezialfall funktionieren und ist nicht allgemeingültig. Wenn die Schenkel im unteren Dreieck größer gewählt werden, wird die Sehne stets größer und die Sehne des konstruierten Dreiecks immer kleiner. Demzufolge sind auch die Katheten des zusammengesetzten Dreiecks ungleich.

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Habt ihr mittlerweile die Lösung im Unterricht besprochen?

Mich würde die Lösung brennend interessieren:)

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Ich habe es mit dem Newton-Verfahren gelöst und es war auch richtig :)
Habe die Nullstelle (in dem Fall der Radius) mit matlab berechnet und mit dem Radius Alpha berechnet. Man hätte auch direkt die Funktion in Abhängigkeit von Alpha darstellen können, dann wäre als Nullstelle direkt der Winkel herausgekommen, aber naja ^^

Answer 2

r·γ = 5 --> γ = 5/r

4^2 = r^2 + r^2 - 2·r^2·COS(γ)

Ich setze I in II ein und vereinfache

r^2·(1 - COS(5/r)) - 8 = 0

Man findet eine Lösung über ein Näherungsverfahren für

r = 2.210232769

γ = 5/2.210232769 = 2.262205171 = 129.6148086°