Binomialverteilung, Urne

Question

2. In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln.
Es werden n Kugeln mit zurück legen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln und die Zufallsgröße Y die Anzahl der gelben Kugeln unter den gezogenen Kugeln.

a) n=8
Wie würde denn da die Binomialverteilung der Zufallsgröße X aussehen?
Wie würde der Erwartungswert und die Standardabweichung von X aussehen?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von X den Erwartungswert E(X)?

b)Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert der zufallsgröße Y größer als 5 ist?
Wie groß ist die Standardabweichung von Y?

c)Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert von X mindestens 1 ist?

d)Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, wenn mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Rote Kugel gezogen werden soll?

2a) E(x)=1.6

Standardabweichung =1.131

b) Hier habe ich auch einfach bei dem Erwartungswert nach n Umgeformt. Und da kommen 16,7 raus, also 17

standardabweichung habe ich jetzt mal nicht ausgerechnet. Da kann man nicht viel falsch machen.

c )Hier bin ich mir auch null sicher. Auch hier habe ich wieder bei E(X) nach n umgeformt und da kommen 3,33 raus also 3 x muss gezogen werden.

d) Hier habe ich am Ende mit dem log gerechnet... Da kommen 12,63 raus.



Wenn ich Fehler haben sollte, dann kann ich den ganzen Rechenweg aufschreiben.

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Vom Duplikat:

Titel: Stochastrik Binomialverteilung

Stichworte: stochastik

In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln.
Es werden n Kugeln mit zurück legen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln und die Zufallsgröße Y die Anzahl der gelben Kugeln unter den gezogenen Kugeln

Mit welcher Wahrscheinlichekit überschreitet der tatsächliche Werte von x den Erwartungswert?

Answer 1

2. In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln. Es werden n Kugeln mit zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln und die Zufallsgröße Y die Anzahl der gelben Kugeln unter den gezogenen Kugeln.

a) n = 8 ; Wie würde denn da die Binomialverteilung der Zufallsgröße X aussehen?

P(X = x) = COMB(8, x)·(4/20)^x·(1 - 4/20)^(8 - x)

Wie würde der Erwartungswert und die Standardabweichung von X aussehen?

μ = 8·(4/20) = 1.6
σ = √(8·0.2·0.8) = 1.131

Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von X den Erwartungswert E(X)?

∑(COMB(8, x)·(4/20)^x·(1 - 4/20)^(8 - x), x, 2, 8) = 0.4967

b) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert der zufallsgröße Y größer als 5 ist?

μ = n·(6/20) > 5 → n > 16.67 → n ≥ 17

Wie groß ist die Standardabweichung von Y?
σ = √(17·0.3·0.7) = 1.889

c) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert von X mindestens 1 ist?

μ = n·(4/20) ≥ 1 → n ≥ 5

d) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, wenn mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Rote Kugel gezogen werden soll?

1 - (1 - 4/20)^n ≥ 0.9 → n ≥ 10.32 → n ≥ 11

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wie hast du Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von X den Erwartungswert E(X)? die Aufgabe gelöst, dass kann ich nicht richtig nachvollziehen XDD

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Binomialverteilung. Der Erwartungswert liegt bei 1.6 und wird bei 2 bis 8 Kugeln überschritten. Bei 0 bis 1 Kugel wird er unterschritten.

Also berechnet man die Wahrscheinlichkeit das von 8 Kugeln 2 bis 8 Kugeln rot sind.

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b) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, damit der Erwartungswert der zufallsgröße Y größer als 5 ist?

μ = n·(6/20) > 5 → n > 16.67 → n ≥ 17

Hast du dich da nicht bei den Vergleichszeichen vertan? Also wenn man durch 6/20 dividiert, müsste sich das Vorzeichen doch ändern oder nicht?

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Hast du dich da nicht bei den Vergleichszeichen vertan? Also wenn man durch 6/20 dividiert, müsste sich das Vorzeichen doch ändern oder nicht?

Kannst du das näher ausführen, eventuell durch eine eigene Rechnung? Die Fragestellung

b) Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen

deutet ja bereits darauf hin, welches Ungleichheitszeichen am Ende stehen sollte, solange die Frage keinen Fehler enthält.

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Kann mir irgendjemand erklären, wie man auf die Lösung von der Aufgabe "Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet der tatsächliche Wert von X den Erwartungswert E(X)?" kam??

Answer 2

In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln.
Es werden n Kugeln mit zurück legen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln und die Zufallsgröße Y die Anzahl der gelben Kugeln unter den gezogenen Kugeln

Mit welcher Wahrscheinlichekit überschreitet der tatsächliche Werte von x den Erwartungswert?

also haben wir eine Bernoulli-Kette der Läge n mit p=4/20

X= Anzahl der roten, X ist binomialverteilt

E(X)=n*p=4/20*n = 0,2n

gesucht: P(X>np)=P(X>0,2*n)      in Tabelle oder Taschenrechner ablesen, etwa 0,5!

\( \sum\limits_{k=0}^{n}{} \) \( \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \) *0,2^k * 0,8^n-k  > n

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Vorhin war es eine andere Aufgabe.

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Noch anders als in der Version von 2019 ?

In einer Urne befinden sich 4 rote, 6 gelbe und 10 blaue Kugeln.
Es werden n Kugeln mit zurück legen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln und die Zufallsgröße Y die Anzahl der gelben Kugeln unter den gezogenen Kugeln

Mit welcher Wahrscheinlichekit überschreitet der tatsächliche Werte von x den Erwartungswert?