Multiplikation von zwei Komplexen Zahlen und die passende Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe:

Für z = a + bi ∈ C sei μz : C → C die Multiplikation mit z, also μz(x) = zx für
x ∈ C. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A(z) := M^B_B(μz) ∈ M₂(R) von μz

bezüglich der Basis B = (1, i) von C als R-Vektorraum.

Problem/Ansatz:

Ich gehe mal davon aus dass x nicht nur den Imaginärteil. Also es ist eher eine (a+bi)*(c+di) Multiplikation und nicht eine (a+bi)i.

Wenn ich mir die Multiplikationen von zwei Punkten angucke merke ich dass die Winkel der Vektoren zu der Realachse sich mit dem Winkel des zu multiplizierenden Punktes addieren. Wie soll ich das aber als Matrix auffassen und ich soll es in den R^2 Raum übertragen habe ich das richtig verstanden? Also soll ich einfach den Imaginärteil zu einem 2. Realteil machen?

Answer 1

Ja- im Prinzip hast Du das schon richtig verstanden. Stelle eine Zahl \(z \in \mathbb{C}\) einfach als Vektor dar: $$z = a+ ib \to \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$$ Wenn \(z\) nun mit einer Zahl \(c + di\) multipliziert wird, ergibt sich (ohne Vektordarstellung) $$z \cdot (c +di) = ac - bd + i(ad + bc)$$ Schreibt man das als Vektor, so steht dort als Ergebnis $$\begin{pmatrix} ac - bd \\ ad + bc \end{pmatrix}$$ jetz kann man sich überlegen, wie eine Matrix \(M\) aussieht, für die gilt $$M \cdot \begin{pmatrix} c \\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd \\ ad + bc \end{pmatrix} $$ liegt doch irgendwie auf der Hand - oder? $$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac - bd \\ ad + bc \end{pmatrix} $$ Also: $$M = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} $$ Gruß Werner

Comments

Super danke, hatte es mit x=i gemacht aber stand auf dem Schlau bei zwei Vektoren. Hatte es mir dort irgendwie komplizierter vorgestellt als es ist.