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Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix A: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Zeige mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass $$ A_{n} = \begin{pmatrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{pmatrix}$$für alle n ≥ 1,  wobei \(a_{n}\) definiert ist durch $$a_{0} = 0, a_{1} = 1$$ und $$ a_{n+1} =   a_{n}  +  a_{n-1}$$Man nennt die Folge \(a_{n}\) auch die Fibonacci-Folge. Schreibe  mithilfe  von  Sage  ein  Programm,  welches \(a_{2^{n}} \) für \(n \ge 1\) mit \(n\) Matrixmultiplikationen berechnet. (Hinweis: \(A^2 = A \cdot A, \space A^{4} = A^2 \cdot A^2, \space A^{8} = A^{4}\cdot A^{4}\)).

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ich verstehe nicht wie man hier vorgehen soll. Wieso steht z.B. in der Matrix A oben links 1 und unten links ebenfalls 1, aber in der Matrix A^n steht oben links a_n+1 und unten a_n. Dann wären a_n+1 und a_n doch beides 1? Und wie starte ich den Induktionsanfang, wenn a0 = 0 und a1 = 1 schon definiert sind?

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Oben in deinem Text sind so viele Fehler, das man keine Lust hat sich das durchzulesen.

Kann es sein das dort gleich zu Anfang steht

$$A^n = \begin{pmatrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{pmatrix}$$

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Der Text ist 1: 1 kopiert aus der Aufgabenstellung. Kannst dich ja beim Prof beschweren, wenn dir seine Aufgabenstellung nicht gefallen. Wirklich sehr hilfreich! Wenn du nicht's zu sagen hast, lass es einfach, ok?

Nein, das steht dort nicht mit A^n. Da steht enfach nur A.

Ich glaube nicht das der Prof einen Unsinn wie

$$a_{n+1} =  a_{n}  +  a_{n+1}$$

so hinschreibt.

Die Reine Induktion ist allerdings nicht so schwer:

Induktionsanfang: n = 1

A^1 = [a(1+1), a(1); a(1), a(1-1)] = [a(2), a(1); a(1), a(0)] = [1, 1; 1, 0] → wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

A^(n+1) = [a(n + 1), a(n); a(n), a(n - 1)]·[1, 1; 1, 0]
A^(n+1) = [a(n + 1) + a(n), a(n + 1); a(n) + a(n - 1), a(n)]
A^(n+1) = [a(n + 2), a(n + 1); a(n + 1), a(n)]
A^(n+1) = [a(n + 2), a(n + 1); a(n + 1), a(n)]
A^(n+1) = [a((n + 1) + 1), a(n + 1); a(n + 1), a((n + 1) - 1)] → wahr


" A1 = [a(1+1), a(1); a(1), a(1-1)] = [a(2), a(1); a(1), a(0)] = [1, 1; 1, 0] → wahr " 

Wieso ist a(1+1) bei Ihnen 1?

Die Fibonacci-Zahlen a1 und a2 entstehen, wenn man die Matrix

0  1

1  1

mit dem Vektor a0 = 0

                        a1 = 1

multipliziert. an und an+1 entstehen, wenn man die Matrix mit n potenziert und dann

mit dem Vektor a0 = 0
                        a1 = 1

multipliziert.  

Wieso ist a(1+1) bei Ihnen 1?

Es soll gelten

a(2) = a(1) + a(0) = 1 + 0 = 1

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