Matrix mit Fibonacci-Zahlen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix A: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Zeige mit Hilfe von vollständiger Induktion, dass $$ A_{n} = \begin{pmatrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{pmatrix}$$für alle n ≥ 1,  wobei \(a_{n}\) definiert ist durch $$a_{0} = 0, a_{1} = 1$$ und $$ a_{n+1} =   a_{n}  +  a_{n-1}$$Man nennt die Folge \(a_{n}\) auch die Fibonacci-Folge. Schreibe  mithilfe  von  Sage  ein  Programm,  welches \(a_{2^{n}} \) für \(n \ge 1\) mit \(n\) Matrixmultiplikationen berechnet. (Hinweis: \(A^2 = A \cdot A, \space A^{4} = A^2 \cdot A^2, \space A^{8} = A^{4}\cdot A^{4}\)).

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ich verstehe nicht wie man hier vorgehen soll. Wieso steht z.B. in der Matrix A oben links 1 und unten links ebenfalls 1, aber in der Matrix A^n steht oben links a_n+1 und unten a_n. Dann wären a_n+1 und a_n doch beides 1? Und wie starte ich den Induktionsanfang, wenn a0 = 0 und a1 = 1 schon definiert sind?

Answer 1

Oben in deinem Text sind so viele Fehler, das man keine Lust hat sich das durchzulesen.

Kann es sein das dort gleich zu Anfang steht

$$A^n = \begin{pmatrix} a_{n+1} & a_n \\ a_n & a_{n-1} \end{pmatrix}$$

Comments

Der Text ist 1: 1 kopiert aus der Aufgabenstellung. Kannst dich ja beim Prof beschweren, wenn dir seine Aufgabenstellung nicht gefallen. Wirklich sehr hilfreich! Wenn du nicht's zu sagen hast, lass es einfach, ok?

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Nein, das steht dort nicht mit A^n. Da steht enfach nur A.

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Ich glaube nicht das der Prof einen Unsinn wie

$$a_{n+1} =  a_{n}  +  a_{n+1}$$

so hinschreibt.

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Die Reine Induktion ist allerdings nicht so schwer:

Induktionsanfang: n = 1

A^1 = [a(1+1), a(1); a(1), a(1-1)] = [a(2), a(1); a(1), a(0)] = [1, 1; 1, 0] → wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

A^(n+1) = [a(n + 1), a(n); a(n), a(n - 1)]·[1, 1; 1, 0]
A^(n+1) = [a(n + 1) + a(n), a(n + 1); a(n) + a(n - 1), a(n)]
A^(n+1) = [a(n + 2), a(n + 1); a(n + 1), a(n)]
A^(n+1) = [a(n + 2), a(n + 1); a(n + 1), a(n)]
A^(n+1) = [a((n + 1) + 1), a(n + 1); a(n + 1), a((n + 1) - 1)] → wahr

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" A1 = [a(1+1), a(1); a(1), a(1-1)] = [a(2), a(1); a(1), a(0)] = [1, 1; 1, 0] → wahr " 

Wieso ist a(1+1) bei Ihnen 1?

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Die Fibonacci-Zahlen a₁ und a₂ entstehen, wenn man die Matrix

0  1

1  1

mit dem Vektor a₀ = 0

                        a₁ = 1

multipliziert. a_n und a_n+1 entstehen, wenn man die Matrix mit n potenziert und dann

mit dem Vektor a₀ = 0
                        a₁ = 1

multipliziert.  

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Wieso ist a(1+1) bei Ihnen 1?

Es soll gelten

a(2) = a(1) + a(0) = 1 + 0 = 1