Schreib. Def. Homomorphismus

Question

 

Ich habe zwei Fragen zu einer Aufgabe über Entscheidung ob Homorphismus oder nicht.

V, W sind Vektorräume über dem Körper K, φ: V -> W

1. K = ℝ, V = W = ℝ[t], φ(p) :=[t↦p(t²)]

Frage: was hat hier die Def. von Phi zu bedeuten? Sind das die Polynome die t quadrieren?

2. K = ℚ, V = ℚ² , W = ℝ, φ(x₁,x₂)=x₁+\( \sqrt{2} \) x₂

Kann ein Homomorphismus über zwei Variablen definiert sein? Falls ja, wie zeige ich das es ein Homorphismus ist.

Vielen Dank!

Answer 1

Frage: was hat hier die Def. von Phi zu bedeuten? Sind das die Polynome die t quadrieren?

Ich denke mal eher so:

φ(p)  ist das Polynom, das entsteht, wenn man in p statt t eben t^2 einsetzt.

Also z.B.  aus  p(t) =  t^2 + 2t + 3    wird   t^4 + 2t^2 + 3 .

Das gibt m.E. keinen Hom.

Kann ein Homomorphismus über zwei Variablen definiert sein? 
Falls ja, wie zeige ich das es ein Homomorphismus ist.

Klar, das ist ja einer von  ℚ^2  nach ℝ.

Prüfe z.B. ob gilt φ(x1+y1,x2+y2) = φ(x1,x2)+φ(y1,y2)

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vielen Dank!