Anwendung der Kettenregel bei Brüchen

Question

also ich weiß, dass man die Kettenregel bei beispielsweise 1/(x+2)^2 anwenden kann.

Geht das auch bei anderen Zahlen im Zähler oder nur bei 1

z.B.: 5/(x+2)^2

Comments

Achso:
Und bei 2x/(x+2)^2 ist es nicht mehr möglich die Kettenregel anzuwenden, aber die Quotientenregel,

oder?

---

ja, das ginge auch mit der kettenregel, https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel#Verallgemeinerung_auf_mehr…

einfacher hat man es aber mit der produktregel oder der quotientenregel.

Answer 1

Das ist ohne Probleme möglich:

$$\left( \frac{5}{(x+2)^2} \right)' = ((x+2)^2)' \cdot \left(- \frac{5}{(x+2)^4} \right)$$

$$= (x^2+4x + 4)' \cdot \left(- \frac{5}{(x+2)^4} \right) = (2x+4) \cdot \left(- \frac{5}{(x+2)^4} \right)$$

$$= 2 \cdot (x+2) \cdot \left(- \frac{5}{(x+2)^4} \right) = - \frac{10}{(x+2)^3}$$

Zur Erklärung: Kettenregel sagt ja "innere mal äußere Ableitung". Bei 5/(x+2)² habe ich "(x+2)²" als Inneres gewählt. Um das "äußere" dann zu kriegen, musst du für das innere ein "x" schreiben, den Term ableiten und dann für x wieder einsetzen, was du als "Inneres" gewählt hast:

$$\frac{5}{(x+2)^2} \quad \to \quad \frac{5}{x}$$

$$\left( \frac{5}{x} \right) ' = ( 5x^{-1} )' = - 5x^{-2} = - \frac{5}{x^2} \quad \to \quad - \frac{5}{(x+2)^4}$$

 

Zu deinem Kommentar: man kann fast alles mit Produkt- und Kettenregel ableiten. Für deinen Fall, also wenn Zähler UND Nenner von x abhängig sind, ist es praktischer, die Quotientenregel anzuwenden. Man könnte auch erst Produkt- und dann Kettenregel anwenden, was aber viel aufwändiger wäre.