Das Gram Schmidt Verfahren

Question

Hallo ihr lieben,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen. Die Aufgabe lautet:

Gegeben sind die drei Vektoren

v1:

-1

-1

0

-1

v2:

0

0

1

1

und v3:

1

-1

-2

0

im ℝ⁴.

Wenden sie das Gram - Schmidt - verfahren auf die Vektoren v1, v2, v3 und bestimmen sie die orthogonale und normierten Vektoren b1,b2,b3

Hinweis: Bitte keine Näherungen verwenden sondern Wurzeln.

ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen LG und danke im voraus

Answer 1

Lies dir das mal durch

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens

und deine Vektoren sind dann die w1, w2, w3.   (ich schreib mal die Vektoren als Zeile statt als Spalte.)

1. Schritt:    v1 =  w1 / ||w1||  =  (-1;-1;0;-1 )  /   √3

2. Schritt:  v2 ' = w2 - (v1*w2) * v1

                       = (0;0;1;1) - (   (-1;-1;0;-1 )  *  (0;0;1;1) / √3  )   *   (-1;-1;0;-1 )  /   √3

                       = (0;0;1;1) - (  -1 / √3  )   *   (-1;-1;0;-1 )  /   √3

                        = (0;0;1;1) + (  1 / 3 )   *   (-1;-1;0;-1 )

                        = (  -1/3  ; -1/3   ;1;  2/3 )

                        = (1/3)* ( -1 ; -1 ; 3  ; 2 )

Und dann normieren.  ||( -1 ; -1 ; 3  ; 2 ) || = √15

also  v2 = = (1/ (3√15) )    * ( -1 ; -1 ; 3  ; 2 )      etc.

Answer 2

Hallo Lisa,

ich halte mich auch an die Bezeichnungen in

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthonormalisierungsverfahrens 

die w-Vektoren sind gegeben und die v-Vektoren bilden dann das Ergebnis

dann kannst du das besser nachvollziehen.

Du brauchst außerdem  die Formel \(|\vec{x}| = \sqrt{x_1^2+x_2^2}\)

und das Skalarprodukt  \(\vec{x} ·\vec{y} = x_1·y_1 + x_2·y_2 + x_3·y_3 + x_4·y_4  \)

w1 = [-1, -1, 0, -1]

w2 = [0, 0, 1, 1]

w3 = [1, -1, -2, 0]

v1 = w1 / |w1|  =  [- √3/3, - √3/3, 0, - √3/3]            (mit 1/√3 = √3/3)

      v2' =  w2 - (v1*w2)*v1  = [- 1/3, - 1/3, 1, 2/3]

v2 = v2' / |v2'|  =  [- √15/15, - √15/15, √15/5, 2·√15/15]     (mit 

      v3' =  w3 - (v1*w3)*v1 - (v2*w3)*v2)  =  [3/5, - 7/5, - 4/5, 4/5]

v3 =  v3' / |v3'|  =  [√10/10, - 7·√10/30, - 2·√10/15, 2·√10/15]

Das sind die Vektoren der Orthonormalbasis

Gruß Wolfgang