Berechne den kürzesten Abstand Parabel und gerade

Question

Berechne den kürzesten Abstand Zwischen f(x)=2x^2 und Geraden f(x)=x-4

Danke im voraus .

Answer 1

Ich denke, dazu muss die Verbindung zwischen

Gerade und Parabel auf beiden senkrecht stehen.

Gerade hat Steigung 1, also muss die

Verbindung Steigung -1 haben, also die

Parabel an dem Punkt Steigung 1.

Steigung der Parabel ist f ' (x) = 4x und das

ist 1 wenn     4x = 1, also x = 1/4.

Also im Punkt  (  1/4  ; 1/8 )

Dort mit Steigung -1 abgehend gibt die Verbindungsgerade

y = -x + n  und   (  1/4  ; 1/8 )  eingesetzt gibt

1/8 = - 1/4 + n    also n= 3/8

y = - x + 3/8  trifft die gegebene Gerade   wenn

- x + 3/8 = x-4    ==>    x = -35/16  also im Punkt  ( 35/16  ;  - 29/16 ).

Dann ist der Abstand der beiden Punkte (und das ist ja

der gesuchte Abstand )

√ ( ( 35/16  - 1/4)^2 + (-29/16-1/8)^2 ) = 31/16 *√2 ≈2,74

sieht so aus:

~plot~ 2x^2;x-4;-x+3/8 ~plot~

Comments

99/16 erscheint mir nicht richtig, wenn ich mir die Skizze ansehe.

Wie groß ist denn nun der kleinste Abstand? Das hast du gar nicht ausgerechnet.

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Verstehe.

Sie haben  m*m=-1  und dann eingesetzt um x zu finden usw ..

Vielen Dank aber wie kann ich den kleinsten Abstand ?

Sie haben die Schnittstelle  der Geraden berechnet aber der Abstand nicht oder?

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- x + 3/8 = x-4    ==>    x = -35/16

Ich denke da ist ein Vorzeichenfehler drin. Man sieht ja bereits an der Skizze, dass der Schnittpunkt im positiven x-Bereich sein muss.

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Oh ja, das korrigiere ich mal.

Answer 2

der Abstand zwischen den Funktionen ist definiert durch \(d=|f_1(x)-f_2(x)|\). Diese Funktion muss minimiert werden.

Tipp: Quadriere die Funktion, um die Betragszeichen zu verlieren. Leite ab, berechne \(f'(x)=0\), entscheide mit \(f''(x_E)\), ob Minimum oder Maximum.

Comments

Das ist leider nicht richtig. Der kürzeste Abstand ist nicht unbedingt eine vertikale Linie.

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Warum denkst du, dass es vertikal ist?

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Wenn du den einen funktionswert Minus den anderen rechnest ist es vertikal oder?

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Hast recht, aber dann ist es eben die kürzeste vertikale Strecke :D

Answer 3

Ich habe mal ein Kontrollergebnis berechnet.

f'(x) = g'(x)
4·x = 1 → x = 1/4

f(1/4) = 1/8

n(x) = -1/f'(1/4)·(x - 1/4) + f(1/4) = 3/8 - x

n(x) = g(x)
3/8 - x = x - 4 → x = 35/16
n(35/16) = g(35/16) = -29/16

d = √((1/4 - 35/16)^2 + (1/8 - (-29/16))^2) = 31/16·√2 = 2.740 LE