Ungleichung (x-1)^3(x+1)^5(x-2) < 0

Question

Aufgabe:

brauche Hilfe bei der folgenden Ungleichung mit Lösungsweg bitte kein Schritt auslassen um mich für eine bevorstehende Klausur vorzubereiten.

(x-1)³(x+1)⁵(x-2) < 0

Problem/Ansatz:

Kriege das mit der Höheren Potenz nicht hin und wo ich da Anfangen soll.

Die Lösungsmenge soll Lauten IL= ( -∞ , -1 ) ∪ ( 1 , 2 )

Answer 1

Kriege das mit der Höheren Potenz nicht hin und wo ich da Anfangen soll.

Richtiger:

Kriege das mit der höheren Potenz nicht hin und weiß nicht, wo ich da anfangen soll.

Nach $$(x-1)^{3}(x+1)^{5}(x-2) < 0\quad\vert\quad \div \left(x-1)^{2}(x+1)^{4}\right)>0 $$gibt es keine höheren Potenzen mehr.

Comments

Ist das gelb-markierte vonnöten?

 \( (x-1)^{3}(x+1)^{5}(x-2) < 0\ quad \vert\quad \div \left(x-1)^{2}(x+1)^{4}\right) \colorbox{#FFFF00}{>0} \)

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Das gelbe soll andeuten, dass die Ungleichung durch einen strikt positiven Term gekürzt wird und es sich somit um eine Äquivalenzrelation handelt, bei der zudem noch das Relationszeichen erhalten bleibt. Sollte das Verwirrung bereiten, kann man es natürlich auch in Worte fassen. Oder weglassen, weil es offensichtlich ist.

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ihr seid die besten :)

Answer 2

Ob ein Produkt aus mehreren Faktoren negativ ist oder nicht, hängt von der Anzahl der negativen Faktoren ab.

Wenn ein Faktor oder 3 Faktoren oder 5 Faktoren oder 7 Faktoren ... negativ sind (und die restlichen Faktoren positiv sind), dann ist das Produkt negativ.

Mehr möchte ich dazu nicht beitragen, denn deine Eigenleistung bei deinen letzten geposteten Fragen war mir einfach zu dünn.

Answer 3

Eine Potenz mit ungeradem Exponenten ist genau dann negativ, wenn die Basis negativ ist.

(x-1)³(x+1)⁵(x-2) < 0 gilt genau dann, wenn (x-1)(x+1)(x-2) < 0. Entweder sind alle drei Faktoren negativ oder es ist genau einer negativ (und die anderen positiv). Daraus ergeben sich vier Fälle. Wenn der erste oder der zweite Faktor negativ ist, erhält man  die Lösungsmenge IL₁= ( -∞ , -1 )  Wenn der dritte Faktor oder alle drei negativ sind, erhält man die Lösungsmenge IL= ( -∞ , -1 ) ∪ ( 1 , 2 ) .

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Vielen Vielen Dank :)