Rechnen mit dem Differenzial df

Question

Jedem Vektorfeld v=(v₁,v₂,v₃) sei die Form

w¹_v=v₁ dx+ v₂ dy +v₃ dz zugeordnet. Außerdem sei f: ℝ³ →ℝ eine skalare Funktion.

Nun soll ich zeigen, dass

df=w¹_∇f

Es ist df =∂f/(∂x) dx +∂f/(∂y) dy +∂f/(∂z) dz.

Doch wie mache ich nun weiter?

Answer 1

$$w^1_{\nabla f}=w^1_{\begin{pmatrix}\partial_x f \\ \partial_y f\\ \partial_z f \end{pmatrix}}=\partial_x f dx+\partial_y f dy+\partial_z f dz = df$$

Comments

Ok, vielen Dank.

Und wenn ich nun noch

w_v²=v₁ dy ∧ dz + v₂ dz ∧ dx +v₃ dx ∧ dy

gilt und ich zeigen soll, dass

dw_v¹=w_∇xv²

wie mache ich das?

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Es ist nicht schwer, versuchs mit der Formel für $$ /alpha = /sum_{j=1}^n v_j dx^j $$ mit v Vektorfeld, gilt dann $$ d /alpha= /sum_{j=1}^n dv_j ∧ dx^j =/sum_{i,j=1}^n /partial_i v_j dx^i ∧ dx^j $$

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Ich muss ehrlich sagen, ich habe noch nicht ganz verstanden, wie ich das immer rechnen muss. Aber versuche es jetzt trotzdem mal.

dw_v¹= dv₁∧ dx + dv₂ ∧ dy +dv₃  ∧ dz

= (∂v₃/∂y - ∂v₂/∂z) dy Λ dz + (∂v₁/∂z - ∂v₃/∂x) dz Λ dx + (∂v₂/∂x - ∂v₁/∂y) dx Λ dy

Stimmt das so? Und wenn ja wie geht es weiter?

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Ja, das müsste meiner Meinung nach passen und du bist auch schon fast fertig und erhältst

(∂_yv₃/- ∂_zv₂) dy Λ dz + (∂_zv₁ - ∂_xv₃) dz Λ dx + (∂_xv₂ - ∂_yv₁) dx Λ dy= w²_∇xv