3x3 Determinante: Wie kommt man auf diesen Rechenweg?

Question

Ich kannte bisher nur die Regel von Sarrus, die sich bisher auch als sehr effizient herausgestellt hat. Aber wie kommt man denn auf eine Rechnung wie jene? Hier der Rechenweg:$$ A = \left(\begin{matrix}4&8&3\\5&4&1\\1&3&2\end{matrix}\right) \\ \det(A) = \left|\begin{matrix}4&8&3\\5&4&1\\1&3&2\end{matrix}\right| \\ = 4·\underbrace{\left|\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right|}_{=5} + (-8)·\underbrace{\left|\begin{matrix}5&1\\1&2\end{matrix}\right|}_{=9} + 3·\underbrace{\left|\begin{matrix}5&4\\1&3\end{matrix}\right|}_{=11} \\ = -19 $$ Ich verstehe nicht, wie man auf die "Vorfaktoren" kommt und eine 3x3-Determinante in drei 2x2-Determinanten zerlegt, die jeweils einen Vorfaktor haben?

Answer 1

Das hier hast du schon studiert, nehme ich an(?)

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Entwicklung_der_Determinante_nach_Spalte_oder_Zeile

Comments

Oh nein, das habe ich noch nicht. Danke für den Link, damit hat es sich voraussichtlich geklärt.

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Kommentar -> Antwort. Einfach nachhaken, falls doch nicht geklärt.

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Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. 

Heißt das, dass ich eine 5x5-Determinante um 3 Dimensionen reduzieren kann? Puuh, das öffnet neue Welten...

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Eine Frage habe ich:

Ist es egal, ob man nach Spalte oder Zeile entwickelt?

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Ist es egal, ob man nach Spalte oder Zeile entwickelt?

Im Prinzip: ja.

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Heißt das, dass ich eine 5x5-Determinante um 3 Dimensionen reduzieren kann? Puuh, das öffnet neue Welten...

Genau. Einfach schrittweise. Zuerst fünf 4x4-Determinanten, dann aus jeder von denen vier 3x3-Determinanten machen usw.

Wenn die gegebene Matrix ein paar Nullen enthält, lohnt es sich zu Beginn eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen zu wählen.

Du musst einfach mit ±1 höllisch aufpassen.

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Heißt das, dass ich eine 5x5-Determinante um 3 Dimensionen reduzieren kann? Puuh, das öffnet neue Welten...

Ja, aber mit Tücken. Du kannst auch eine 10X10-Determinante berechnen, indem du zehn 9x9-Derminanten bildest, diese wiederum aus neun 8x8-Determinanten entwickelst, für die acht 7x7-Determinanten nötig sind, welche ...

Irgendwann bist du bei 3x3 -Determinanten angekommen, deren Anzahl dann übrigens 10*9*8*7*6*5*4*3 ist.

Das ist händisch nicht mehr zu machen und muss programmiert werden. Wenn du ein solches Programm hast, könntest du damit theoretisch auch 20x20-Determinanten berechnen, die Rechenzeit würde aber vermutlich mehrere Tage (oder länger?) benötigen, und der Speicherplatz für die Ergebnisse von knapp 20! Dreierdeterminanten muss auch erst mal da sein.

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Hast recht, das habe ich gestern Abend auch bemerkt. Aber eine 4x4-Matrix um zwei Dimensionen zu reduzieren, finde ich eigentlich ganz gut, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob die Regel von Sarrus nicht schneller geht, wenn ich um eine Dimension reduziere.

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@Lu

Ja, die Cofaktoren haben mir meine Rechnung schon oft zersprengt - echt nervig!