Trigonometrische Gleichung tan^2(x) - 3 tan(x) + 2 = 0

Question

Aufgabe:

tan²(x) - 3 tan(x) + 2 = 0

Substituieren: z= tan(x)

quadratische Gleichung: z²-3z+2= 0

PQ-Formel :

z₁ bzw. x₁ = 1

z₂ bzw. x₂ = 2

Rücksubstituieren:

tan(x) = 1

tan(x)^-1= 45 Grad

tan(x)= 2

tan(x)^-1= 63,43 Grad

k-fache der Periode:

z₁ bzw. x₁ = 1 +/- k* π

z₂ bzw. x₂=  2 +/- k* π

Ansatz: Ist die Aufgabe richtig gerechnet? Danke euch schon einmal für eure Hilfe.

Answer 1

Die Rechnung ist richtig, die Darstellung widersprüchlich.

Die erhaltenen Hauptwerte der Winkel werden hier im Gradmaß angegeben, die Periodizität dagegen im Bogenmaß? Das passt nicht zusammen.

In "+/- k* π" sollte spezifiziert werden, was k eigentlich ist. Wenn k eine ganze Zahl ist, brauch man kein "+/- ".

Answer 2

Arbeite auch mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=tan%5E2(x)+-+3+tan(x)+%2B+2+%3D+0

Du kannst Resultate überprüfen und "alternate forms" betrachten (Erste Version dort führt zu einem eleganteren Lösungsweg).

Ausserdem: Es heisst substituieren. Ich habe das oben korrigiert.

z_{1} bzw. x_{1} = 1

z_{2} bzw. x_{2} = 2

x ist falsch. Du darfst x und z nicht vermischen. z hat in der Lösungsmenge nichts mehr zu suchen.

Schreibe

z_{1} = 1

z_{2} = 2

tan(x) = 1

tan(x)^{-1}= 45 Grad

ist auch falsch notiert.
Korrekt:

tan(x) = 1

x_{1} = arctan(1)= 45 Grad = π/4 
x = π/4 + k*π, k Element Z. 

usw.

Falsch auch die Mischung von x und z am Schluss

z_{1} bzw. x_{1} = 1 +/- k* π

z_{2} bzw. x_{2}=  2 +/- k* π

Besser

x = arctan( 1) + k* π = π/4 + k*π , k Element Z

oder

x = arctan(  2) +  k* π, k Element Z

vgl. Bild.