Was ist der Sinn einer Linearkombination?

Question

Hier ein Beispiel:$$\vec{a_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \vec{a_2}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\end{pmatrix}$$ Finde zwei Linearkombinationen der beiden Vektoren.

Lösung:

 Wir denken uns beliebige Zahlen aus, mit denen wir die beiden Vektoren multiplizieren. Im Anschluss daran addieren wir die Vektoren. Auf diese Weise erhalten wir eine Linearkombination der beiden Vektoren.$$\left. \begin{array} { l } { \vec { v } _ { 1 } = 2 \cdot \vec { a _ { 1 } } + 3 \cdot \vec { a _ { 2 } } = 2 \cdot \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 3 } \end{array} \right) + 3 \cdot \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 11 } \\ { 6 } \end{array} \right) } \\ { \vec { v _ { 2 } } = 3 \cdot \vec { a _ { 1 } } - 1 \cdot \vec { a _ { 2 } } = 3 \cdot \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 3 } \end{array} \right) - 1 \cdot \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 9 } \end{array} \right) } \end{array} \right.$$Problem:

Was sind aber die Beweggründe? Warum rechnet man so etwas aus? Wird leider nirgends wirklich erläutert.

Comments

Frage optimiert, habe ich gerade nicht dran gedacht - sorry!

Answer 1

Macht vielleicht mehr Sinn bei Vektoren mit drei Komponenten.

Wenn du dann eine Linearkombination von zweien machst, liegt das Ergebnis

in der durch die beiden bestimmten Ebene durch den Nullpunkt.

Das ist dann wenigstens schon mal ein geometrischer Grund.

Oder was Praktisches   (na ja ?)

Du hast zwei Sorten Pralinenkartons, wobei in der in der einen Sorte

12 Schoko und 9 Marzipan Pralinen sind und in der anderen

 10 Schoko und 11 Marzipan.

Interpretiere die also die Vektoren

12          und           10
9                             11

Jetzt hat einer den Wunsch

278 Schoko und 168 Marzipan zu erhalten.  Geht das ?

Na ja, es geht, wenn es eine Linearkombination gibt, bei der

278
168

rauskommt.  Und dann am besten mit ganzzahligen Faktoren.

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Das Beispiel ist gut. Aber oben im Beispiel steht wortwörtlich "Wir denken uns beliebige Zahlen aus, mit denen wir die beiden Vektoren multiplizieren"

Das liegt eventuell daran, dass die Aufgabe vom Kern sinnfrei ist. "Finde zwei Linearkombination der beiden Vektoren".

Danke für die Hilfe.

Answer 2

in einem Vektorraum kannst du jeden Vektor als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

Desweiteren betrachtet man Linearkombinationen von Vektoren, wenn man untersucht , ob Vektoren linear abhängig/unabhängig voneinander sind.

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, ob Vektoren linear abhängig/unabhängig voneinander sind.

Das ist das nächste Kapitel! :D

Answer 3

Nimm z.B. die Linearkombination

X = r*[1, 0] + s*[0,1]

Damit könntest du mit beliebigen Werten von r und s einen Punkt im Koordinatensystem erreichen. Dabei wäre dann r genau die x- und s genau die y-Koordinate.

Die Linearkombination zweier linear unabhängiger Vektoren spannt immer eine Ebene auf. Du kannst also über jede Linearkombination jeden Punkt der Ebene erreichen.

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Meinst du damit, dass die Lage des Vektors im egal ist und, dass man mit der Linearkombination einfach neue (mögliche) Lagen des Vektors findet?

Answer 4

Die gegebenen Vektoren legen ein Bezugssystem fest. Jeder Punkt in diesem System ist eine LK der gegebenen Vektoren. Im Falle der Antwort von Mathecoach ist das Bezugssystem das übliche zweidimensionale Koordinatensystem. Man kann sich aber auch Systeme vorstellen, in denen die Koordinatenachsen nicht orthogonal sind,.