Für welche α ∈ R bilden die Vektoren v1, v2 und v3 eine Basis des R³?

Question

Aufgabe:

Für welche a ∈ R bilden die Vektoren v1 = $$\begin{pmatrix} 1\\-a\\1 \end{pmatrix}$$, v2 = $$\begin{pmatrix} -a\\1\\-a \end{pmatrix}$$ und v3 = $$\begin{pmatrix} 0\\-a\\1 \end{pmatrix}$$ eine Basis des R³?

Problem/Ansatz:

Naja, damit Vektoren eine Basis gelten muss, laut Definition 5.30 die Aussagen B1 (Die Vektoren in B sind linear unabhängig) und B2 (Die Menge B ist ein Erzeugendensystem von V) gelten.

So, jetzt hab ich mir gedacht, um zu zeigen, dass die Vektoren lin. unabhängig sind, bildet man ein LGS der Form:

r * $$\begin{pmatrix} 1\\-a\\1 \end{pmatrix}$$ + s * $$\begin{pmatrix} -a\\1\\-a \end{pmatrix}$$  = $$\begin{pmatrix} 0\\-a\\1 \end{pmatrix}$$

Löse ich die 1.Zeile auf, komme ich auf

1r - s*a = 0   => r = s*a

und in der 2. Zeile dann auf

- a*s - a² + s = - a

Und das ist einfach nur beschämend.

Auch wenn ich die Vektoren vertausche und bspw. v1 und v3 als Lin.kombination von v2 darstelle, kommt ähnliches bei raus. Habe ich eventuell den falschen Ansatz gewählt?

Comments

Dein (nicht lineares(!)) Gleichungssystem müsste so lauten:

r-as=0
-ar+s=-a
r-as=1

Beim Betrachten der ersten und der dritten Gleichung ist bereits zu erkennen, dass das System keine Lösungen besitzt. Was bedeutet das? Der Vektor \(v_3\) lässt sich für kein \(a\) aus den Vektoren \(v_1\) und \(v_2\) linear kombinieren.

Bleibt also noch zu klären, für welche \(a\) die beiden Vektoren \(v_1\) und \(v_2\) linear unabhängig sind.

Answer 1

Berechne die Determinante mit der Regel von Sarrus:$$|D|=\begin{vmatrix} 1 & -a & 0 \\ -a & 1 & -a \\ 1 & -a & 1 \end{vmatrix} $$ Lineare Abhängigkeit gilt, wenn ein LGS unendlich viele Lösungen hat.

Was gibt Auskunft über die Eindeutigkeit der Lösbarkeit eines Gleichungssystems - die Determinante!

Berechne die Determinante allgemein für \(a\) und setze die diesem Vorgang entspringende Gleichung einmal größer und einmal kleiner null.

Comments

... einmal größer und einmal kleiner null.

Warum nicht einfach einmal  Det  = 0 ?

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Das wäre natürlich noch schlauer. Dann berechnen wir diejenige Menge, die wir dann ausschließen können.

pro salute omnium!

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also

1*1*1 + (-a-a*1) + (0*-a*-a) - 1*1*0 - (-a*-a*1)-(1*-a*-a)

= 1 + a² - a² - a²

= 1 - a²

1 - a² = 0

=> Antwort: für alle, außer a = 1 ?

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Wenn du eine Quadratwurzel zíehst, so hast du zwei Lösungen!

⇒ \(\{a\in \mathbb{R}\backslash \{\pm1\}\}\)