Question

Exponentialgleichung 100n = 2^{n} nach n umstellen?  ( Bitte um kurze Erklärung )

100n = 2^n

Ich möchte den Schnittpunkt herausfinden. Setze die Funktion gleich aber ich weiß nicht wie ich mit der Potenz weitermachen soll weil das wäre ja einfach nur 100n-2^n aber wie geht es hier weiter?

Answer 1

Bei dieser Aufgabe könnte einem spontan einfallen, dass
$$2^{10}=1024$$

und

$$ 100 \cdot 10 =1000$$

daher

$$2^{10} \cong 100 \cdot 10$$

als socalled "digital native" sollte man das ja eigentlich wissen ...

... weiterhin sind Gleichungen, deren gesuchte Variable sowohl im Exponenten als auch in der Basisebene auftauchen, grundsätzlich nie mit arithmetischen Mitteln lösbar, sondern erfordern Schätzung bzw. numerische Näherungsverfahren

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Ansonsten mit dem Produktlogarithmus.

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Lambert W ist nicht wirklich zu den elementaren Funktionen zu zählen und findet sich auch nicht in den gängigen Taschenrechnern als "Taste".

Wer damit schon mal zu tun hatte, wird über die obige Frage wohl nicht stolpern.

Ich gehe mal nicht davon aus, dass der Fragesteller schon mal was davon gehört haben könnte.

Answer 2

Mit herkömmlichen Mitteln kannst Du den Schnittpunkt nicht berechnen,

nur mit Näherungsverfahren , z.B. Newton

Lösung:

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k vielen dank soweit. Ich werde es dann mit Abschätzen versuchen

Answer 3

Wie ist denn der Definitionsbereich für n?

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Definitionsbereich wird wohl alle reelle Zahlen sein.

Ich hänge halt bei dieser Aufgabe weil normalerweise bei Prüfungen ein Rechenweg verlangt wird.

Es ging halt darum dass ich den Schnittpunkt/Grenzwert finde  wo welcher Algorithmus schneller wäre.

Beispiel 1000n= 1/4*n^2

mit umformen und pq formel hab ich dann 4000 raus.

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Ok, aber dann wird der Definitionsbereich eben nicht die reellen Zahlen umfassen, sondern die natürlichen und dann darf man schon wissen, dass der Übergang von n=9 zu n=10 erfolgt.

Answer 4

Hallo hanschris0,

Du kannst die Gleichung auch so umformen, dass man die sogenannte Lambert-W-Funktion nutzen kann. Dazu muss man Deine Gleichung in die Form $$c = g(n) \cdot e^{g(n)}$$ bringen. In dem Fall wäre dann $$n = g^{-1}(W(c))$$Hier ginge das z.B. so:$$\begin{aligned} 100n &= 2^n \\ 100n &= e^{n\cdot \ln 2} && \left| \div e^{n\cdot \ln 2} \right.\\ 100n \cdot e^{-n\cdot \ln 2}&= 1 && \left| \cdot \frac{-\ln 2}{100 } \right.\\ -n\cdot \ln 2 \cdot e^{-n \ln 2} &= \frac{-\ln 2}{100 } && \left| W() \right.\\ W\left(\frac{-\ln 2}{100 }\right) &= -n\cdot \ln 2 && \left| \div (-\ln 2) \right. \\ n&= - \frac{W\left(\frac{-\ln 2}{100 }\right)}{ \ln(2)} \end{aligned}$$ da der Ausdruck \(-(\ln 2)/100\) kleiner als 0 ist, gibt es zwei Lösungen, da die W-Funktion in diesem Bereich nicht injektiv ist. Das Argument ist $$\frac{-\ln 2}{100 } \approx -0,00693147$$ Wolfram Alpha kann man dann nach dem Funktionswert fragen und man erhält eine der beiden Lösungen \(n \approx 0,01007\).

Gruß Werner