Matrizen : Rang in Abhängigkeit von t ∈R

Question

Aufgabe:

Rang der Matrix in Abhängigkeit von t ∈R:

Comments

Sniper, du hast innerhalb der letzten 24 Stunden fünf relativ einfache Aufgaben (vermutlich von deinem Übungszettel) abfotografiert und ohne jeden eigenen Ansatz, oder auch nur irgendeine Frage dazu ins Internet gestellt. Ist das deine Auffassung vom Studium?

Answer 1

Hallo Sniper,

⎡ 1   1   t   0   1 ⎤
⎢ 0   1   t   0   0 ⎥
⎢ 1   0   t   -t   1 ⎥
⎣ 1   t   0    t   1 ⎦

Rang = 4 - Anzahl Nullzeilen in der Dreiecksform:

⎡ 1     1       t    0   1 ⎤
⎢ 0     1       t    0   0 ⎥
⎢ 0    -1      0   -t    0 ⎥  Z2 - Z1
⎣ 0   t - 1   -t     t    0 ⎦  Z3 - Z1

⎡ 1  1   t    0   1 ⎤
⎢ 0  1   t    0   0 ⎥
⎢ 0  0   t   -t    0 ⎥   Z3 - Z2
⎣ 0  0  -t²   t   0 ⎦   Z4 + (t-1) * Z3

für t = 0  hat man 2 Nullzeilen  →  Rang = 2 

⎡ 1  1   t      0        1 ⎤
⎢ 0  1   t      0        0 ⎥
⎢ 0  0   t     -t         0 ⎥
⎣ 0  0  0    t - t²     0 ⎦  Z4 + t * Z3

für t =1  hat man 1 Nullzeile  →  Rang = 3

für t ∈ ℝ \ { 0 , 1 }   hat man keine Nullzeile →  Rang = 4 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo

du bringst die Matrix mit Gauss auf die Dreiecksform,  und bestimmst in Abhängigkeit von t, wieviele Zeilen , die nicht Nullzeilen sind bleiben, die Anzahl ist der Rang.

Gruß lul

Answer 3

1     1     t    0    1
0    1     t     0    0
1     0    t   -t      1 
1    t     0     t     1

4. Zeile minus erste und 3. Zeile minus erste:

1     1     t    0    1
0      1     t     0    0
0     -1    0   -t     0
0     t-1    -t   t     0

2. Zeile *(1-t) zur 4. addieren [ für t≠1]

  und 2. Zeile zur 3. addieren

1     1     t      0    1
0      1     t     0    0
0     0     t    -t     0
0     0    -t^2   t     0

und jetzt noch [ für t≠0 ] das t-fache der

3. Zeile zur 4. addieren

1     1     t         0    1
0      1     t        0    0
0     0     t        -t     0
0     0     0    t-t^2   0

t-t^2 = 0 <=> t*(1-t)=0 <=> t=0 oder t=1

Für  t≠0 und  t≠1  ist also der Rang = 4.

Für t=0 entstand nach der 1. Umformung:

1     1     0    0    1
0      1     0     0    0
0     -1    0    0     0
0      -1    0   0     0

also rang=2; denn die letzten

beiden werden nun zu 0-Zeilen.

   Und für t=1 entstand

1     1      1    0      1
0      1     1     0     0
0     -1    0      -1     0
0     0    -1      1     0

Da rechnen wir nun 3. Zeile plus zweite

1     1      1    0      1
0      1     1     0     0
0     0      1     -1     0
0     0     -1      1     0

und 4. Zeile plus dritte

1     1      1    0      1
0      1     1     0     0
0     0      1     1     0
0     0      0      0     0

also rang=3.