man kann so eine explizite Bildungsvorschrift auch mit Hilfe der Linearen Algebra lösen. Die englische Wikipedia-Seite hinter dem Hinweis zur Bildungsvorschrift von abakus habe ich ehrlich gesagt nicht so verstanden. Kann sein, dass dort das gleiche beschrieben wird wie dies hier ;-)
Die (rekursive) Bildungsvorschrift in einer Matrizenform für \(a_1\) und \(a_2\) sähe z.B. so aus:$$\begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_{0} \\ a_{1} \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$$ und für das \((n+1)\)'te Element:$$\begin{pmatrix} a_{n} \\ a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}^n \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix} = A^n \cdot \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix}$$Nun bringt man \(A\) in die Form \(A= S \cdot D \cdot S^{-1}\), wobei \(D\) eine Diagonalmatrix ist. Siehe 'https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix'. Mit der Idee, dass$$A^n = S \cdot D^n \cdot S^{-1}$$Hier ist$$S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2+\sqrt 3 & 2 - \sqrt 3\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2+\sqrt 3 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt 3\end{pmatrix}$$und \(S^{-1}\) ist:$$S^{-1} = \frac 1{2 \sqrt 3} \begin{pmatrix} \sqrt 3 -2 & 1 \\ \sqrt 3 +2 & -1 \end{pmatrix}$$Jetzt noch die erste Zeile dieses Ausdrucks ausmultiplizieren:$$\begin{pmatrix} a_{n} \\ a_{n+1}\end{pmatrix} = S \cdot D^{n} \cdot S^{-1} \begin{pmatrix}2 \\ 4 \end{pmatrix} $$und am Ende kommt tatsächlich raus:$$a_n = (2- \sqrt 3)^n + (2 + \sqrt 3)^n$$ Gruß Werner
