Zeigen, dass <Ax,y> ein Skalarprodukt definiert

Question

Sei A ∈ ℝ^nxn.

Nun soll ich zeigen, dass <x,y>_A=<Ax,y>₂ ein Skalarprodukt und ∥x∥_A=(<x,x>_A)^(1/2) eine induzierte Norm ist.

Zuerst muss ich doch die Linearität, Symmetrie und positive Definitheit zeigen.

Linearität: <x,y+z>=<Ax, y+z> doch wie geht es dann weiter?

Symmetrie: <x,y>=<Ax,y>=(Ax)^T*y=x^T* A^T* y=(Ax)^T* y=(y^T* Ax)^T=<y,Ax>T=<y,Ax>=<y,x>

positive Definitheit:

<x,x>_A=0

<x,x>A=<Ax,y>=(Ax)^T *y> 0 für alle x≠0

Für x=0 : (0A)^T*y=0

Und wie zeige ich das mit der induzierten Norm?

Comments

Ohne weitere Voraussetzungen an A wird das wohl nichts.

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Oh stimmt ich hab noch vergessen, dass A SPD (symmetrisch und positiv definit) ist

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Linearität vielleicht so:
⟨x,y+z⟩_A = ⟨Ax,y+z⟩₂ = (Ax)^T(y+z) = (Ax)^Ty + (Ax)^Tz = ⟨Ax,y⟩₂ + ⟨Ax,z⟩₂ = ⟨x,y⟩_A + ⟨x,z⟩_A.

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Stimmt danke das könnte so stimmen. Und kannst du mir zufällig auch sagen wie die Aufgabe b gehtß

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Also dass ∥x∥_A=(<x,x>_A)^(1/2)