LImes einer Reihe berechnen

Question

Aufgabe:

Berechne den Wert der folgenden Reihe

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^n}{2^n}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe nun die Zahlen in die Formel \( \frac{a}{1-q} \) eingesetzt, also \( \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})} \), was ich nicht verstehe warum der Zähler positiv sein soll? Kann mir das jemand erklären?

Answer 1

Wir haben eine geometrische Reihe und somit haben wir folgendes: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{-1}{2}\right)^n=\frac{1}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$$