Für welche Werte von x ist die Matrix 1 & x \\ 2 & 4 regulär?

Question

kann mir jemand bei der unten stehenden Aufgabe helfen?

Ich weiß auf jeden Fall, dass eine Matrix regulär ist, sofern diese eine inverse Matrix besitzt, oder irre ich mich da?

Nur leider weiß ich nicht, wie man nun alle Werte für x berechnet..

Aufgabe:

Wir betrachten Matrizen über dem Körper der reellen Zahlen.

Für welche Werte von x ∈ ℝ ist die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) regulär? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie die Inverse an, falls diese existiert.

Ich wäre für Lösungen, Rechenwege, Tipps oder Lösungsansätze wirklich sehr dankbar.

Comments

Bestimme die Nullstellen der Determinante.

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danke für die Antwort.

Ich würde damit auf eine Lösung kommen, nämlich x = 2. Wäre also somit nur die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) regulär, oder gibt es da noch andere Möglichkeiten?

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Hallo

 welches Kriterium benutzt du denn für regulär?  kannst du zu der Matrix eine Inverse bestimmen? deine Lösung ist falsch.

Gruß lul

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Hallo lul,

achso ja da hast du recht, man kann für x = 2 keine Inverse bilden. Laut der Definition aus dem Internet ist eine Matrix regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Da ich für die Nullstellen der Determinante nur auf x = 2 kommen würde, bedeutet das, dass alle Matrizen mit einem Wert für x außer 2 regulär sind und man dafür auch eine Inverse bilden kann?

Danke für weitere Antworten.

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Hallo

 ja, jetzt ist es richtig

Gruß lul

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Achso danke für die Hilfe, ich habe mal zum Test die Inverse Matrix für x = 3 und x = 4 berechnet. Da komme ich bei x = 3 auf  \( \begin{pmatrix} -2 & 1,5 \\ 1 & -0,5 \end{pmatrix} \) und bei x = 4 auf \( \begin{pmatrix} -1 & 1b \\ 0,5 & -0,25 \end{pmatrix} \). In der Aufgabe steht ja nun

Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie die Inverse an, falls diese existiert.

Soll ich da dann einfach ein Beispiel aufschreiben oder irgendwie sowas schreiben wie "für alle \( \begin{pmatrix} 1 & x ≠ 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) ist die Matrix regulär"?

Answer 1

oder irre ich mich da?

Ob du recht hast oder nicht sagt dir ein Blick in die Definition von reguläre Matrix.

geben Sie die Inverse an

Mach das zuerst.

Für welche Werte von x ∈ ℝ ist die Matrix ... regulär?

Das sind die Werte, für die die Inverse, die du ja bereits berechnet hast, existiert. Das erkennst du am Definitionsbereich der in der Inversen vorkommenden Terme.

Comments

danke für die Antwort..

Ob du recht hast oder nicht sagt dir ein Blick in die Definition von reguläre Matrix.

Habe im Internet gelesen, dass eine Matrix regulär ist, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt, habe ich anscheinend erst falsch verstanden.

geben Sie die Inverse an

Danke für den Hinweis, mir ist aufgefallen, dass es für x = 2 gar keine Inverse gibt.

Für welche Werte von x ∈ ℝ ist die Matrix ... regulär?

Soll das nun heißen, dass die Matrix für alle x, die nicht 2 sind, regulär ist? Denn für alle Werte außer 2 hat ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert, somit müsste es sich dabei dann auch um eine reguläre Matrix handeln und damit würde sich eine Inverse bilden lassen, oder habe ich da schon wieder einen Denkfehler?

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Soll das nun heißen, dass die Matrix für alle x, die nicht 2 sind, regulär ist?

Ja.

Eine quadratische Matrix ist genau dann regulär, wenn ihre Deteminante ≠ 0 ist.

Genau dann existiert auch die inverse Matrix.

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Alles klar danke für die Hilfe, in der Aufgabe steht ja

Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie die Inverse an, falls diese existiert.

Soll ich da dann einfach ein Beispiel aufschreiben oder irgendwie sowas schreiben wie "für alle \( \begin{pmatrix} 1 & x ≠ 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) ist die Matrix regulär"?

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Schreibe doch einfach

"Für x ≠ 2 ist die Matrix regulär,weil dann die Determinante ≠ 0 ist"  Die Matrix ist ja bekannt.

Die Inverse musst du natürlich in Abhängigkeit von x auch berechnen.

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Achso dann ergibt die Aufgabe schon mehr Sinn.

Vielen Dank für die Hilfe