Analytische Geometrie, Berechnung: Lichtstrahl auf Ebene, warum geht mein Ansatz nicht auf?

Question

Aufgabe:

Gegeben: Ebene E: 2x - 2y - z - 12= 0

Gerade g durch Punkt P (15/16/13) und Q (10/11/8)

Ein von P aus gehender Lichtstrahl geht durch Q und wird anschliessend an der Ebene E reflektiert. Wo trifft der reflektierte Strahl auf die Ebene z= -56 ?

Diese Aufgabe ist die 2. Teilaufgabe.

Die erste war: in welchem Punkt schneidet g die Ebene. Diese Aufgabe habe ich berechnet und folgenden Schnittpunkt erhalten (-12,-11,-14)

Problem/Ansatz:

Nun folgende Frage, ich habe mittlerweile gesehen dass man ein Problem der Form (2. Teilaufgabe) mittels Spiegelung lösen kann, ich versuchte jedoch die Aufgabe auf einem anderen Weg zu lösen und vetstehe nicht warum ich gescheitert bin.

Meine Idee war: Da der Lichtstrahl, gerade die gleichen Bedingungen wie die Gerade erfüllt, muss ja der Lichtstrahl im Schnittpunkt auf die Ebene treffen.

Und gesucht ist ja eigentlich der Schnittpunkt der reflektierten Geraden mit der Ebene z= -56

Darum dachte ich wenn ich den Winkel zwischen geraden g und Ebene berechne, dann muss ja der Winkel zwischen dem reflektierten Lichtstrahl und und E der gleiche sein, also den gleichen Richtungsvektor haben im Betrag und dann mittels diesem Vektor und dem Schnittpunkt wollte ich die Geradengleichung aufstellen und dann mittels einsetzen von z in z=-56 den Parameter erhalten um dann den Punkt zu erhalten in dem der Lichtstrahl auf z=-56 trifft, aber es geht nicht auf...

Winkel Gerade / Ebene

Normalenvektor der Ebene

2/-2/-2

Richtungsvektor

5/5/5

Winkel 42 Grad (Den bräuchte man nicht unbedingt, es ist einfach die Formel für diese Berechnung die mich auf diese Idee gebracht hat)

Nun wäre ja reflektierter Lichtstrahl

X = -12 - 5t

Y = -11-5t

Z= -14 -5t

Und wenn ich -14-5t= -56 setze erhalte ich für t= 8.4

Und ich dachte wenn ich jetzt den Parameter oben wieder einsetze hätte ich x und y auch noch, aber das ist gemäss Lösungen nicht der Richtige Schnittpunkt und eben gelöst wurde die Aufgabe mittels Spiegelung, kann mir Jemand erklären welche Fehlüberlegungen ich gemacht habe?

Vielen Dank

Answer 1

Ich glaube, hier steckt der Irrtum: "wenn ich den Winkel zwischen der Geraden g und Ebene berechne, dann muss ja der Winkel zwischen dem reflektierten Lichtstrahl und  E der gleiche sein, also den gleichen Richtungsvektor haben."

Der reflektierte Lichtstrahl hat auf keinen Fall den gleichen Richtungsvektor, wie der Einfallsstrahl.

Comments

Danke für deine Antwort, aber es gibt doch das Gesetz Einfallwinkel gleich Ausfallwinkel und wenn g nun mit dem Strahl gleichgesetzt wird und der reflektierte Strahl bildet den gleichen Ausfallwinkel, dann müssten doch die Winkel von Ebene zu den Geraden auch gleich sein? Und somit die Richtungsvektoren von Geraden zur Ebene auch, also eben gleich im Betrag, sonst könnte man ja die Formel zur Berechnung von Winkel und Ebene nicht anwenden? Die Richtung der Ebene bleibt ja gleich und wie erkläre ich mir den gleichen Winkel, wenn der Richtungsvektor nicht den gleichen Betrag hat?

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Wenn α der Winkel des einfallenden Strahls ist, dann liegt zwischen dem einfallenden Strahl und dem reflektierten Strahl ein Winkel von β=180°-2α

Answer 2

Merkwürdige Frage, wieso  z=-56?

Hast Du Dir mal ein Bild gemacht?

Wie auch immer, Dein Normalenvektor ist falsch.

Du hast den gleichen Richtungsvektor bei der PQ-Geraden wie bei der gespiegelten Geraden. Der Winkel gxE = 11.096°

Reicht das erstmal ;-) ?

Comments

Vielen Dank, ja ich habe schon Skizzen gemacht.

Ich denke auch wenn der Normalenvektor richtig wäre, würde es meine Frage nicht beantworten, weil der Betrag des Winkels für die Überlegung nicht wichtig ist.

Ich wollte die Aufgabe eben lösen ohne g zu spiegeln.

Die Überlegungen waren wenn die Formel

I(n • v) : nvI = sin des winkels

Dabei ist n normalenvektor von E

V richtungsvektor von g oder eben dem reflektierten strahl

Und die Überlegung dass der Einfalls- gleich dem Ausfallswinkel ist, dass ich dann mit dem Schnittpunkt (-12, -11 und -14) und dem wegen obiger Überlegungen gleichen Betrag des Richtungsvektors die Gerade hätte bestimmen können und dann diese mit z= -56 schneiden. Aber anscheinend geht das nicht und ich wollte wissen wieso das nicht geht.