Orthognonales Komplement von U = span{ (1 2 3)^{T}} bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei U = span{ (1 2 3)^T}

Berechnen sie das orthogonale Komplement von U

Problem/Ansatz:

Normalerweise würde ich das berechnen indem ich die die Vektoren (in dem Fall 1) als Zeile in eine Matrix schreiben würde und den Kern davon berechnen da dieser das orthogonale Komplement darstellt.

Bloß wie berechne ich den Kern der 1x3 Matrix ( 1 2 3)?

1x + 2y + 3z = 0 wäre die Gleichung?

Vg Unkown

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Untervektorraum U ist Span von einem Vektor. Suche orthogonoles Komplement von U.

Stichworte: komplement,orthogonal,span,vektorraum,untervektorraum

Aufgabe:

Sei U = span {(

1

2

3

)} ⊂ ℝ³. Berechnen Sie U^T . (Die Symbol ist "T" aber umgekehrt. )

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht was das bedeutet.. Kann jemand weiterhelfen? Vielen Dank

Answer 1

U ist einfach eine Gerade im R^3. Das orthogonale Komplement hierzu ist einfach die Menge aller Vektoren , die senkrecht zu dem Vektor verlaufen. Das ist eine Ebene.

Sei v=(x,y,z)

Dann gilt

<(1,2,3),v>=

Also

x+2y+3z=0

dasselbe Ergebnis wie du erhältst. Stimmt also!

Gegebenenfalls sollst du das als Span darstellen.

z.B

x=-2y-2z

y=y

z=z

v=(-2y-2z,y,z)

=y(-2,1,0)+z(-2,0,1)

Hier kannst du zwei Basisvektoren ablesen.

Answer 2

Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplementärraum#Orthogonales_Komplement

Zu U^⊥ gehören also alle Vektoren, die mit

1
2
3

das Skalarprodukt 0 haben.   Das ist die

Lösungsmenge der Gleichung x + 2y + 3z = 0

Also der Span von

$$\begin{pmatrix} -2\\1 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -3\\0 \\1 \end{pmatrix}$$