Zyklische Matrizen haben also keine Grenzmatrix.
Sie haben aber einen Fixvektor. Bei der Matrix
\(M := \begin{pmatrix} 0&{{2}\over{3}}&0&{{1}\over{5}}\cr {{1}\over{2}}&0&{{1}\over{4}}&0\cr 0&{{1}\over{3}}&0&{{4}\over{5}}\cr {{1}\over{2}}&0&{{3}\over{4}}&0 \end{pmatrix} \).
lautet der zum Beispiel
\(\vec{v_{\text{fix}}}:= \frac{1}{106} \cdot \begin{pmatrix} 19\\18\\34\\35 \end{pmatrix} \).
Noch nicht ein mal die Spalten der Häufungspunkte
\(\lim_{n\to\infty}M^{2n} = \begin{pmatrix} {{19}\over{53}}&0&{{19}\over{53}}&0\cr 0&{{18}\over{53}}&0 &{{18}\over{53}}\cr {{34} \over{53}}&0&{{34}\over{53}}&0\cr 0 &{{35 }\over{53}}&0&{{35}\over{53}} \end{pmatrix} \)
und
\(\lim_{n\to\infty}M^{2n+1} = \begin{pmatrix} 0&{{19}\over{53}}&0&{{19}\over{53}}\cr {{18}\over{53}}&0& {{18}\over{53}}&0\cr 0&{{34}\over{53}}&0&{{34}\over{53}}\cr {{35 }\over{53}}&0&{{35}\over{53}}&0 \end{pmatrix} \)
stimmen mit dem Fixvektor überein. Die Aussage nenne ich deshalb Blödsinn. Dass solche Matrizen im Buch nicht auftauchen, ist keine Entschuldigung.
Ich persönlich hätte für denen Fall gesagt es gibt eine Grenzmatrix. Das wäre der Grenzwert für n gegen Unendlich von Mn.
Das wäre auch meine Meinung. Grenzmatrix ist Grenzwert der Matrix, klingt einleuchtend.
Es gibt hingegen keine Grenzverteilung, weil die Spalten der Grenzmatrix nicht denselben Vektor darstellen.
Das klingt weniger einleuchtend. Man könnte analog zur Folgendefinition des Grenzwertes von Funktionen argumentieren, dass eine Grenzverteilung, nur dann existiert, wenn jede Verteilung gegen diese konvergiert.
