Gibt es eine lineare Abbildung f: R^2 -> R^2 mit f(1,1) = (1,0), f(-1,1) = (-3,2), f(0.1) = (-1,1) ?

Question

Aufgabe:

Gibt es eine lineare Abbildung f: R^2 -> R^2 mit f(1,1) = (1,0), f(-1,1) = (-3,2), f(0.1) = (-1,1) ?

Problem/Ansatz:

wie kann ich "schnell und einfach" rausfinden, ob es eine lineare Abbildung gibt?

Die dazugehörige Matrix kann ich schon berechnen. Die Lösung werde ich posten.

Answer 1

zu f:  Es ist ja  0,5*(1;1) + 0,5*(-1;1) =  ( 0;1)

Dann wäre f(   0,5*(1;1) + 0,5*(-1;1) ) = f ( 0;1)

wegen der Linearität

            0,5*f(1;1) + 0,5*f(-1;1) ) = f ( 0;1)

gegebene Werte einsetzen

            0,5*(1;0) + 0,5*f(-3;2) ) = ( -1;1)

und nachrechnen

                ( -1 ; 1 ) = ( -1;1)

Klappt, also gibt es sowas.

Bei g klappt es wohl nicht, rechne mal nach.

Comments

Wie sieht dann bei f die dazugehörige Abbildungsmatrix aus?

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In den Spalten stehen die Bilder der

kanonischen Basisvektoren, also von (1;0) und (0;1).

Die zweite Spalte kennst du also schon:

?   -1
?    1

Und für die erste Spalte stellst (1;0) dar

x*(1;1) + y*(-1;1) = (1;0)

und berechnest das Bild wie oben.

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Die Abbildungsmatrix für f lautet:

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)

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Bei g gibt es keine lineare Abbildung, denn

(1, -2) ≠ (0, -2)

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Na, geht doch !