lineare Abbildung beweisen, Darstellungsmatrix und Koordinatenvektor Bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektorräume V := {f ∈ R[x] | grad f ≤ 2} und W := {g ∈ R[x] | grad g ≤ 3} sowie die zugehörigen kanonischen Basen:

$$ εv := (1,x, x^{2}) \text{ und } εv := (1,x,x^{2},x^{3}) $$

Sei I : V → W der Integraloperator, definiert durch $$ I (ax^{2} + bx +c) = \frac{a}{3}x^{3} + \frac{b}{2}x^{2} + cx $$

(a) Zeigen Sie, dass I eine lineare Abbildung ist. Ist die Abbildung I surjektiv?
(b) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor Kεv (I(p)) für  p = x^2 + 2

(c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $$ Α^{εv  \ , \ εw}_{I} $$

(d) Bestimmen Sie $$ S_{εw}, c, S_{B}, εv \text{ und } A^{B , C}_{I} \text{ für die folgenden geordneten Basen von V bzw. W } $$

$$ B = ( 1+x, 2,-x, x+3x^3) \text{ und C } = (2, x+1, x^2 +1, x^3 +1) $$

Problem/Ansatz:

Answer 1

(a) Zeigen Sie, dass I eine lineare Abbildung ist.

Sei f=ax^2 + bx + c  und g= ux^2 + vx + w

Zeige I(f+g) = I(f) + I(g)

und für alle k ∈ℝ   I(k*f) = k*I(f)

Ist die Abbildung I surjektiv?   Kommt das Nullpolynom als Bild vor ?

(b) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor(I(p)) für  p = x^2+ 2

I(p) = I( x^2+ 2 ) = (1/3)x^3 + 2x also   (I(p))  = (0 ; 2 ; 0 ; 1/3 ) 

(c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix :

In den Spalten stehen die Koordinatenvektoren der

Bilder der Basis εv bezogen auf  εw

(Da hast du dich oben vertippt. Die zweite Basis ist sicher   εw .

Also I(1) = x Koordinaten  ( 0 ; 1 ; 0 ; 0 )

I(x) = (1/2)x^2  Koordinaten  ( 0 ; 0 ; 1/2 ; 0 )

I(x^2 ) = (1/3)x^3  Koordinaten  ( 0 ; 0 ; 0 ; 1/3 ).

Matrix also:

0     0    0
1     0     0
0    1/2    0
0     0      1/3

Bei d) entsprechend.