Integral x/ Wurzel(x^2-1)

Question

 ∫x/ √(x²- 1)

man substituiert x^2-1 und erhält √u

dx= du/2x

= 1/2 ∫ 1/√u

wie löse ich jetzt das Integral - bitte die genauen Rechenschritte!

kann jemand den Rechenweg genau darstellen?

Answer 1

Hallo

1/√u =u^-1/2 und die Integration von allen Potenzfunktionen ist dieselbe x^r integriert ergibt 1/(r+1)*x^r+1  

^{kann jede reelle Zahl ausser -1 und 0 sein} 

Gruß lul

Answer 2

$$\int \frac x{\sqrt{x^2 - 1}}\, \text{d}x$$

Substitution: $$u  = x^2 -1 \implies \frac{\text{d}u}{\text{d}x} = 2x \implies \text{d}x = \frac{\text{d}u}{2x}$$Einsetzen in das Integral: $$\begin{aligned} \int \frac x{\sqrt{x^2 - 1}}\, \text{d}x &= \int \frac{x}{\sqrt u} \frac{\text{d}u}{2x} \\&= \frac 12 \int \frac{\text{d}u}{\sqrt u} \\& = \frac 12 \int u^{-\frac 12} \, \text{d}u \\&= \frac 12 \left( 2 u^{\frac 12}\right) + C \\&= \sqrt{x^2-1} + C\end{aligned}$$Gruß Werner

Comments

wo kommt die zwei vor dem u her?

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ich habe es jetzt gesehen  u^1/2/1/2 = 2u ^1/2