Vervollständigen Sie die Abbildungsmatrix so, dass (1, 0, 0, 0)σ ∈ ⟨(1, 0, 0, 0)⟩ℝ ist.

Question

Seien V := ℝ⁴ und σ ∈ End_ℝ(V ) eine Abbildung. Weiter

sei eine geordnete R-Basis Bˆ := (b1, b2, b3, b4) von V gegeben,
wobei b1 := (1, 0, 0, −1), b2 := (0, 0, 1, 0), b3 := (0, 1, 1, 0) und b4 = (0, 0, 0, 1) ist.
Gegeben ist eine unvollständige Abbildungsmatrix, nämlich

M(σ, B^, B^) = \( \begin{pmatrix} 0 & 0& &1 \\ 0 & 0&1&0\\1&0&1&1\\0&0& &  \end{pmatrix} \)

a) Vervollständigen Sie die Abbildungsmatrix so, dass (1, 0, 0, 0)^σ ∈ ⟨(1, 0, 0, 0)⟩_ℝ ist. Gibt es
mehrere Möglichkeiten? Matrix oder Matrizen hinschreiben und kurz begründen!

b) Ist es möglich, die Matrix so zu vervollständigen, dass σ bijektiv ist?

Answer 1

(1, 0, 0, 0) = 1*b1 + 1*b4 hat also den Koordinatenvektor

( 1 ; 0 ; 0 ; 1) .

Und wenn man die freien Plätze in der Matrix mit a,b,c bezeichnet

gibt (1, 0, 0, 0)^σ = M * ( 1 ; 0 ; 0 ; 1)

                          = ( 1 , 0 , 2 , c )

                      = 1*b2 + 2*b3 + c*b4

                     = ( 1 ; 2 ; 2 ; c-1 )

Und wegen der 2en ist das nicht in

⟨(1, 0, 0, 0)⟩_ℝ .

b) klappt auch nicht, da die Matrix eine Nullspalte hat.