Question

Prüfe auf Konvergenz bzw. Divergenz:

1. \( a_{n}:=\sqrt{n^{4}+1}-n^{2} \)

2. \( a_{n}:=\frac{4^{2 n}}{3^{4 n}} \)

Im Falle von Konvergenz ist der Grenzwert anzugeben.

Answer 1

Hi,

Bei der ersten erweitere mit der dritten binomischen Formel

$$\sqrt{n^4+1}-n^2 = \frac{n^4+1-n^4}{\sqrt{n^4+1}+n^2} = \frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2}$$

Im Grenzwert betrachtet:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n^4+1}+n^2} = 0$$

Für das zweite:

$$\frac{4^{2n}}{3^{4n}} = \frac{(2^2)^{2n}}{3^{4n}} = \frac{2^{4n}}{3^{4n}} = \left(\frac23\right)^{4n}$$

Da die Basis <1 ist, strebt das ganze gegen 0, wenn man \(n\to\infty\) betrachtet ;).

Grüße