Ein quadratischer Tisch mit...

Question

Aufgabe:ein quadratischer Tisch mit der Seitenlänge 2m soll entsprechend Fig.5 mit zwei quadratischen Einlegearbeiten verziert werden. Aus kostengründen soll dieser Flächenanteil möglichst klein werden. Welghe Maße bieten sich für die Einlegearbeiten an?

Problem/Ansatz:

Answer 1

1. Formel für das aufstellen, was minimiert/maximiert werden soll.

   Es handelt sich um die Summe der Flächeninhalte von zwei Quadraten, eines mit Seitenlänge a, das zweite mit Seitenlänge b. Also ist

           F = 2a² + 2b².

2. Einschränkungen der Variablen der Hauptbedingung berücksichtigen. Die Quadrate sollen so gestaltet sein, dass deren Kantenlänge zusammen 2 betragen. Also ist

           a+b = 2

   Das ist die Nebenbedingung.

3. Nebenbedingung nach einer der Variablen umformen.

           b = a-2

4. In die Hauptbedingung einsetzen.

           F = 2a² + 2(a-2)²

5. Als Funktion auffassen.

           F(a) = 2a² + 2(a-2)²

   Das ist die Zielfunktion.

Bestimme das Minimum der Zielfunktion. Prüfe dann, ob das Minimum im Sachzusammenhang sinnvoll ist. Der Sachzusammenhang gibt vor, das 0 ≤ a ≤ 2 und 0 ≤ b ≤ 2 ist.

Comments

Wir sollen es so machen

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Ich habe deine Punkte 3, 4 und 5 beschrieben.

Was verstehst du nicht?

Answer 2

nennen wir die Seitenlänge eines Quadrates x, dann ist die andere Länge 2-x.

Für den Flächeninhalt gilt dann

$$x^2+(2-x)^2\\ =x^2+4-4x+x^2\\ =2x^2-4x+4\\=2(x^2-2x+2)$$

Jetzt innerhalb der Klammer die quadratische Ergänzung bilden, um auf die Scheitelpunktform der Parabel zu kommen:

$$2((x-1)^2-1+2)\\ =2((x-1)^2+1)\\=2(x-1)^2+2$$

Scheitelpunkt S (1|2). Für x = 1 ist die Fläche also am kleinsten.

Gruß, Silvia

Comments

Wir sollten es aber so machen. Ich verstehe es aber nicht.