Zeigen Sie, dass gilt ||x+y||² = ||x||² + ||y||²

Question

Aufgabe: Seien x,y ∈\( R^{n} \) zwei Vektoren, die senkrecht aufeinander stehe. Zeigen Sie, dass gilt ||x+y||² = ||x||² + ||y||². Gilt die Aussage auch für beliebige Vektoren?

Problem/Ansatz: Das einzige was uns gesagt wurde ist, dass das Skalarprodukt von 2 senkrecht aufeinander stehenden Vektoren gleich 0 ist. Also sie sind orthogonal zueinander. Ich weiß nicht wie ich da vorgehen soll, weil hier addiert man ja die Variablen.

Answer 1

|| x+y || ^2  =   ( x+y) * (x+y)   hier ist * das Skalarprodukt.

Klammern auflösen (geht, da Skalarprodukt bilinear ist)

= x*x + x*y + y*x + y*y

x*y und y*x sind 0, also

= x*x + y*y

= || x || ^2 + || y || ^2

Comments

Die Erleuchtung danke :)