Gegeben ist die Ebene E mit der Parametergleichung E:x= r(1/1/1)+s(-1/-1/1)

Question

Die Aufgaben lauten:

Geben Sie Gleichung zweier verschiedener Ebenen an, die zur Ebene E parallel sind.

Geben Sie eine Gleichung der Ebene an, bei der Stützvektor nicht der Nullvektor ist.

Ich verstehe nicht wie ich vorgehen muss?

Answer 1

\(E:\vec{x}=r\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}\)

bei der Stützvektor nicht der Nullvektor ist

Du kannst irgendeinen Stützvektor \(\neq \vec{0}\) nehmen, z.B. \(\begin{pmatrix}4\\ 7\\ 9\end{pmatrix}\). und diesen dann in die Ebenengleichung einsetzen.

die zur Ebene E parallel sind

Wenn du einen anderen Ortsvektor nimmst, wobei die Spannvektoren gleich bleiben, so bleiben die Ebenen parallel.

Für parallele Ebenen müssen die Spannvektoren Linearkombinationen der ursprünglichen Spannvektoren sein.

Also z.B. \(r_1=2\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 2\end{pmatrix},\,  s_1= 2 \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ -2\\ 2\end{pmatrix}\)

Nimmst du nun aber z.B. die Ebene \(E_1:\vec{x}=r\begin{pmatrix}2\\ 2\\ 2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-2\\ -2\\ 2\end{pmatrix}\), (gleicher Ortsvektor), so ist diese außerdem identisch mit der ursprünglichen Ebene E. Wenn also \(E \neq E_n\) gelten muss, dann hast du nur die Möglichkeit, die Ebenengleichung über den Ortsvektor zu verändern.