DGL Trennung der Variablen

Question

Aufgabe:

ich hab eine Aufgabe zu der ich irgendwie keinen richtigen Ansatz finde.

xy' = (4 + \( y^{2} \) ) * ln(x)

y(1) = 2

Vielen Dank im Voraus

LG

Answer 1

xy' = (4 + y^2 ) * ln(x)

<=>  x dy / dx  = (4 + y^2 ) * ln(x)

<=>   dy / (4 + y^2 )  =  ln(x)  / x  * dx

Integrieren gibt

0,5*arctan(y/2) = 0,5*ln(x)^2 + c

<=> arctan(y/2) = ln(x)^2 + 2c

<=> y/2 = tan ( ln(x)^2 + 2c )

<=> y = 2 * tan ( ln(x)^2 + 2c )

y(1) = 2 ==>    2  = 2 * tan ( ln(1)^2 + 2c )

                       1 =  tan (  2c )

                   pi/4 = 2c

                    pi/8 = c

Also  y =  2 * tan ( ln(x)^2 + pi/4 )

 

Comments

Vielen Dank!!

Hättest du eine Art "Kochrezept" wie ich bei diesen Aufgabentypen am besten anfange?

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Wie der Name schon sagt:

Die Variablen "trennen", also erst mal y '

durch dy / dx ersetzen und dann schauen, dass

alle Teile mit  x bzw. dx auf eine Seite kommen

und die mit y und dy auf die andere. Wenn das gelingt

(Ist nat. nicht bei allen DGL'n möglich.), hast du sowas wie

           xxxxxxxxxxxx dx = yyyyyyyyyyyy dy

und dann integrieren ( auch hier: wenn es gelingt) hast

du sowas wie    F(x) = G(y)  + C

und dann versuchen, das ganze nach y aufzulösen.

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Ich danke dir vielmals! Schönen Sonntag noch :)

Answer 2

y'=dy/dx

x  *dy/dx = (4 + y^2 ) * ln(x)  |*dx

x  *dy = (4 + y^2 ) * ln(x)  dx |:4 + y^2 ) :x

dy / (4 + y^2 ) =( ln(x) /x) dx

usw

Lösung:

y(x) = 2 tan(c₁ + ln^2(x))

mit AWB:

y(x) = 2 tan(ln^2(x) + π/4))