Beweis: Zeigen Sie, dass (Z, 0, +) und (Zn, 0, +) für alle n>1 zyklische Gruppen sind

Question

Hi ich habe das Problem, dass ich zwar verstanden habe, was eine Gruppe ist,

Ich jedoch nicht so ganz weiß, wie ich folgendes beantworten soll:

Zeigen und Begründen sie, dass (Z, 0, +) und (Zn, 0 ̃, +) für alle n > 1 zyklische Gruppen sind.

Ich habe folgenden Ansatz:

Der Zyklische Erzeuger ist 1 bzw. -1 das inverse,
   denn für ein a€Z gilt 1 ^ m > 0;
     -1 ^ m < 0;

(a) : für alle a,b,c € Z gilt über + dass:
      a+(b+c) = (a+b)+c denn:
      a+(b+c) = a+b+c
     (a+b)+c = a+b+c
(n) : Das neutrale Element ist 0. Sei a € Z gilt:
      a+0 = a und 0+a=a
(i) : Jedes Element in hat ein inverses:
      a ;-a € Z für das gilt
      0 = a -a
Damit ist (Z,0,+) Eine Gruppe mit dem Zyklischen Erzeuger 1.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Korrekter Gruppenbeweis bzw. Zyklischer Gruppen. (ℤ,0,+)

Stichworte: zyklisch,beweis,gruppe,gruppen

Hallo alle zusammen.

Also ich soll zeigen, dass 

(ℤ,0,+) eine Zyklische Gruppe ist.

 

Ich weiß dass die Gruppe:

-Assoziativ sein muss: Sei a,b,c ∈ ℤ  dann muss (a+b)+c = a+(b+c) gelten

-Ein neutrales Element besitzen muss: a,n ∈ ℤ dann muss a+n=n+a=a gelten

-Ein Inverses Element besitzen muss; a,a^-1 ∈ ℤ dann muss a+a^-1 = a^-1+a=n gelten

Für die Zyklische Gruppe muss es einen Erzeuger geben, für den gilt:

Sei <e> der Erzeuger so muss gelten für e,h ∈ ℤ ist eⁿ = h , wobei  eⁿ die n fache hintereinanderausführung der Operation + auf den Erzeuger mit sich selbst ist, und ich somit jedes beliebige h aus Z darstellen kann.

 

Dass das alles gegeben ist, ist mir klar, aber ich weiß nicht wie ich das formell KORREKT beweise.

 

Könnte mir jemand einmal ausführlich aufschreiben wie man sowas korrekt beweist?

 

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Hallo Lu, schauen wir in Wikipedia nach „Erzeuger“ für die korrekte Definition.  Dort steht:

„Im Fall von Gruppen bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren Inversen dargestellt werden kann.“

Also ist die 1 ein Erzeuger der Gruppe (Z, +). 

Eine ähnliche Aufgabe ist https://www.mathelounge.de/14049/korrekter-gruppenbeweis-bzw-zyklischer-gruppen-%E2%84%A4-0. 

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Hallo Lu, nehmen wir z. B. Wikipedia, das ist immer gut und für alle verfügbar.  Stichwort „Gruppe“.  Eine Gruppe nennt man zyklisch, wenn es ein a gibt, so dass alle Elemente mit …, a^-2, a^-1, e, a, a², … dargestellt werden können.  In additiver Notation:  …, -a-a, -a, 0, a, a+a, …  Z ist zyklisch, weil alle ganzen Zahlen genau so dargestellt werden können, mit a = 1.

Answer 1

die Frage ist, ob (Z, +) zyklisch ist.  Was ist zyklisch?  Nehmen wir z. B. Wikipedia, das ist immer gut und für alle verfügbar.  Stichwort „Gruppe“.  Eine Gruppe nennt man zyklisch, wenn es ein a gibt, so dass alle Elemente mit …, a^-2, a^-1, e, a, a^2, … dargestellt werden können.  In additiver Notation:  …, -a-a, -a, 0, a, a+a, …  Z ist zyklisch, weil alle ganzen Zahlen genau so dargestellt werden können, mit a = 1.