DGL x^2*y' -y=1 separierbar?

Question

Aufgabe:

x^2*y' -y=1

Problem/Ansatz:

y' = (1+y)/x^2

weiter weiss ich nicht, wäre Trennung der Variablen möglich?

dy/(1+y) = dx/x^2

??

DANKE!!

Answer 1

Wo liegt denn das Problem? Dein Ansatz ist doch richtig

$$ \frac{y'(x)}{y(x)+1} = \frac{1}{x^2}$$

Integrieren

$$ \int_{t_0}^t \frac{y'(x)}{y(x)+1} dx = \int_{t_0}^t \frac{1}{x^2} dx $$

Substituieren

$$\int_{y(t_0)+1}^{y(t)+1} \frac{1}{z} dz = \int_{t_0}^t \frac{1}{x^2} dx $$

Und jetzt einfach lösen. Rauskommen sollte

$$ y(t) = c\cdot e^{-1/t} - 1 $$