matrizen multiplizieren frage

Question

Weisen Sie nach ,dass die Produktmatrix von 2 stochastischen Matrizen wieder einen stochastische Matrix ist.

a) An zwei selbst gewählten Beispielen

b) Allgemein für 2x2 Matrizen

Answer 1

A·B = [a, b; c, d]·[e, f; g, h] = [a·e + b·g, a·f + b·h; c·e + d·g, c·f + d·h]

Welche Bedingung müsste A·B erfüllen um eine stochastische Matrix zu sein? Diese Bedingungen erfüllen ja schon A und B. Wie kannst du jetzt darauf schließen das es auch bei A·B erfüllt ist.

Comments

Die Zeilen oder Spaltensumme sollte jeweil 1 ergeben

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Und alle Elemente sollten im Bereich von 0 bis 1 liegen.

D.h. keine negativen Elemente und Spaltensumme bzw. Zeilensumme 1 langt als Bedingung.

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Alles klar, vielen Dank! :)

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Also nimm mal die Spaltensumme

a·e + b·g + c·e + d·g

a·e + c·e + b·g + d·g

(a + c)·e + (b + d)·g

Nun galt aber a + c = b + d = 1

1·e + 1·g

e + g

und auch galt e + g = 1

e + g

1

damit ist die erste Spaltensumme des Produktes auch wieder 1. Analog kann man das für die zweite Spaltensumme machen.